Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chào bạn, mình sẽ giúp bạn giải bài toán hình học này nhé!

a) Tính ∠C.

Tam giác ABC vuông tại A nên ∠A=90∘.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180∘, nên trong tam giác ABC ta có: ∠A+∠B+∠C=180∘ 90∘+60∘+∠C=180∘ 150∘+∠C=180∘ ∠C=180∘−150∘=30∘
Vậy ∠C=30∘.
b) Chứng minh BM là tia phân giác góc ABC.

Theo đề bài, H là một điểm trên BC sao cho HB = BA. Tuy nhiên, điểm M được xác định là hình chiếu vuông góc của H trên AC. Điều này có nghĩa là HM vuông góc với AC tại M. Điểm H không nhất thiết phải nằm trên tia BM.
Để chứng minh BM là tia phân giác của ∠ABC, ta cần chứng minh ∠ABM=∠CBM. Tuy nhiên, với cách dựng điểm H và M như đề bài, điểm M nằm trên AC, và tia BM không được định nghĩa trực tiếp từ giả thiết HB = BA.
Có vẻ như có một sự nhầm lẫn trong cách diễn đạt hoặc vị trí của các điểm. Nếu đề bài muốn nói rằng điểm M nằm trên BC sao cho BM = BA, thì chứng minh sẽ khác.
Tuy nhiên, nếu giả sử điểm M trùng với điểm H trên BC sao cho HB = BA, thì ta có thể tiếp tục như sau:

Xét tam giác ABH có BA = BH (giả thiết). Vậy tam giác ABH là tam giác cân tại B.
Trong tam giác cân ABH, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cân đồng thời là đường cao và đường phân giác. Tuy nhiên, chúng ta chưa có thông tin nào về việc AM là đường trung tuyến.
Chúng ta cần làm rõ vị trí chính xác của điểm M. Nếu M là hình chiếu vuông góc của H trên AC, thì BM không nhất thiết là tia phân giác của ∠ABC.

c) Chứng minh BE = DE.

Ta có HM vuông góc với BC tại H.
Điểm D nằm trên tia đối của MB sao cho MB = MD. Vậy B là trung điểm của đoạn thẳng MD.
DN vuông góc với AC tại N.
E là giao điểm của DN và BC.
Xét tam giác BMD, vì B là trung điểm của MD nên mọi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MD sẽ cách đều M và D. Đường trung trực của MD là đường thẳng đi qua B và vuông góc với MD.

Ta có MB nằm trên đường thẳng BC. Vì D nằm trên tia đối của MB, nên M, B, D thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường thẳng vuông góc với MD tại B chính là đường thẳng vuông góc với BC tại B.

Tuy nhiên, DN vuông góc với AC tại N và cắt BC tại E. Chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa E, D và B.

Xét điểm B. Khoảng cách từ B đến M là BM, và khoảng cách từ B đến D là BD. Theo giả thiết, BM = MD, và B nằm giữa M và D, vậy BD = BM.

Xét điểm E nằm trên BC. Ta có đường thẳng DN vuông góc với AC tại N.

Để chứng minh BE = DE, ta có thể xét tam giác BDE. Nếu tam giác BDE cân tại E, thì BE = DE.

Ta có thể sử dụng tọa độ hóa để giải bài toán này, nhưng có lẽ có một cách giải hình học thuần túy.

Xem xét lại giả thiết và hình vẽ:

Tam giác ABC vuông tại A, ∠B=60∘, suy ra ∠C=30∘.
HB = BA.
HM ⊥ AC tại M.
D thuộc tia đối của MB sao cho MB = MD.
DN ⊥ AC tại N, E là giao điểm của DN và BC.
Chứng minh phần b) nếu có sự điều chỉnh về điểm M:

Nếu điểm M nằm trên BC sao cho BM = BA:

Xét tam giác ABM có BA = BM (giả thiết). Vậy tam giác ABM cân tại B.
Trong tam giác cân ABM, ∠BAM=∠BMA.
∠ABM+∠BAM+∠BMA=180∘
∠ABM+2∠BAM=180∘
Chúng ta cần chứng minh ∠ABM=∠CBM=21∠ABC=21×60∘=30∘.

Tuy nhiên, với M là hình chiếu của H trên AC, phần b) có thể không đúng.

Chứng minh phần c) BE = DE (với giả thiết ban đầu):

Vì B là trung điểm của MD, nên B cách đều M và D.
Xét đường thẳng AC. HM ⊥ AC và DN ⊥ AC, suy ra HM // DN.
Xét tam giác MED có B là trung điểm của MD. Nếu BE song song với HM và DN, thì E sẽ là trung điểm của một đoạn thẳng nào đó. Tuy nhiên, E nằm trên BC.
Chúng ta có thể sử dụng tính chất đối xứng:

Vì B là trung điểm của MD và HM // DN (cùng vuông góc với AC), hình thang MHDN có thể có tính chất đối xứng qua điểm B nếu các đường thẳng MH và ND có độ dài bằng nhau và đối xứng qua B.
Xét tam giác vuông ABH (vuông tại H nếu H trùng M): Điều này không đúng vì HM vuông góc AC.

Xét tam giác vuông ABM (nếu M là hình chiếu của H trên AC): Tam giác này vuông tại M.

Chúng ta cần một cách tiếp cận khác cho phần c).

Vì B là trung điểm của MD, xét phép đối xứng tâm B. Phép đối xứng này biến M thành D và ngược lại.
Đường thẳng HM vuông góc với AC. Đường thẳng DN vuông góc với AC. Vậy HM // DN.
Xét hình thang MHDN. B là trung điểm của đường chéo MD. Gọi giao điểm của HN và MC là P. Khi đó, B cũng là trung điểm của NP.

Xét tam giác DNC vuông tại N. Xét tam giác HMB vuông tại M.

Chúng ta cần sử dụng vị trí của điểm E trên BC.

E là giao điểm của DN và BC.
Xét tam giác MBD có B là trung điểm của MD. Xét đường thẳng qua B song song với HM (hoặc DN). Đường thẳng này sẽ cắt MD tại B và cắt MN tại trung điểm của MN.

Một cách tiếp cận khác:

Vẽ hình chính xác theo đề bài.
Sử dụng tính chất của các tam giác vuông và góc đã biết.
Phần a) đã giải: ∠C=30∘.

Phần b) Chứng minh BM là tia phân giác góc ABC (cần làm rõ điểm M):

Nếu M là hình chiếu của H trên AC, thì không có lý do gì để BM là tia phân giác của ∠ABC trừ khi có một cấu trúc đặc biệt nào đó.

Phần c) Chứng minh BE = DE:

Xét tam giác vuông ABC có ∠B=60∘, ∠C=30∘.
HB = BA. Tam giác ABH cân tại B, ∠BAH=∠BHA=2180∘−60∘=60∘. Vậy tam giác ABH là tam giác đều.
HM ⊥ AC tại M. Trong tam giác đều ABH, đường cao HM cũng là đường trung tuyến, nên M là trung điểm của AH.
D thuộc tia đối của MB sao cho MB = MD.
DN ⊥ AC tại N.
E là giao điểm của DN và BC.
Xét tam giác MBD có B là trung điểm của MD.

Xét hệ tọa độ với A là gốc (0,0), AB trên trục Ox, AC trên trục Oy. A=(0,0) B=(BA,0) ∠C=30∘, tan(30∘) = ACAB⟹3 1=ACBA⟹AC=BA3 C=(0,BA3 )

Phương trình đường thẳng BC: BAx+BA3 y=1⟹3 x+y=BA3

Điểm H trên BC sao cho HB = BA. H=(xH,yH) (xH−BA)2+yH2=BA2 3 xH+yH=BA3 ⟹yH=BA3 −3 xH (xH−BA)2+(BA3 −3 xH)2=BA2 xH2−2BAxH+BA2+3(BA−xH)2=BA2 xH2−2BAxH+3(BA2−2BAxH+xH2)=0 xH2−2BAxH+3BA2−6BAxH+3xH2=0 4xH2−8BAxH+3BA2=0 (2xH−BA)(2xH−3BA)=0 xH=2BA hoặc xH=23BA (loại vì H trên đoạn BC) xH=2BA⟹yH=BA3 −3 2BA=2BA3 H=(2BA,2BA3 )

HM ⊥ AC (trục Oy), nên đường thẳng HM có phương trình y=2BA3 . M là giao điểm của HM và AC (trục Oy), nên M=(0,2BA3 ).

B=(BA,0), M=(0,2BA3 ) Đường thẳng MB: BAx+BA3 /2y=1⟹BAx+BA3 2y=1⟹3 x+2y=BA3

D thuộc tia đối của MB sao cho MB = MD. B là trung điểm của MD. D=(xD,yD) 2xD+0=BA⟹xD=2BA 2yD+BA3 /2=0⟹yD=−BA3 /2 D=(2BA,−BA3 /2)

DN ⊥ AC (trục Oy), nên đường thẳng DN có phương trình x=2BA. E là giao điểm của DN và BC: 3 (2BA)+yE=BA3 2BA3 +yE=BA3 yE=−BA3 E=(2BA,−BA3 )

BE=(2BA−BA)2+(−BA3 −0)2 =BA2+3BA2 =4BA2 =2BA DE=(2BA−2BA)2+(−BA3 −(−BA3 /2))2 =0+(−BA3 /2)2 =43BA2 =2BA3

Có vẻ có sai sót trong quá trình tính toán hoặc hiểu đề bài.

Xem xét lại phần c) bằng hình học thuần túy:

Tam giác ABH đều (BA = BH, ∠B=60∘).
HM là đường cao trong tam giác đều ABH, nên HM ⊥ AB. Điều này mâu thuẫn với HM ⊥ AC.
Đề bài có lẽ có sự nhầm lẫn về vị trí của điểm H hoặc cách dựng HM.

Nếu giả sử H là một điểm tùy ý trên BC sao cho HB = BA, và M là hình chiếu của H trên AC:

Tam giác ABH cân tại B.
Nếu đề bài đúng như trên, phần b) có thể không chứng minh được, và phần c) cần xem xét lại cẩn thận.

Với thông tin hiện tại, không thể chứng minh BM là tia phân giác góc ABC một cách trực tiếp.

Về phần c) BE = DE:

D nằm trên tia đối của MB sao cho MB = MD. B là trung điểm của MD.
DN ⊥ AC.
E là giao điểm của DN và BC.
Xét tam giác vuông tại A, ∠B=60∘. Kẻ đường trung tuyến AK trong tam giác vuông ABC (K là trung điểm BC). AK=BK=CK=21BC. ∠BAK=∠B=60∘, ∠CAK=∠C=30∘. Tam giác ABK đều.

Cần xem xét lại toàn bộ bài toán và hình vẽ để có hướng giải chính xác.

Nếu có bất kỳ sự điều chỉnh nào về đề bài, xin vui lòng thông báo để mình hỗ trợ bạn tốt hơn.

...Xem thêm

Answer 2

Chào bạn, mình sẽ giúp bạn giải bài toán hình học này nhé!

a) Tính ∠C.

Tam giác ABC vuông tại A nên ∠A=90∘.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180∘, nên trong tam giác ABC ta có: ∠A+∠B+∠C=180∘ 90∘+60∘+∠C=180∘ 150∘+∠C=180∘ ∠C=180∘−150∘=30∘
Vậy ∠C=30∘.
b) Chứng minh BM là tia phân giác góc ABC.

Theo đề bài, H là một điểm trên BC sao cho HB = BA. Tuy nhiên, điểm M được xác định là hình chiếu vuông góc của H trên AC. Điều này có nghĩa là HM vuông góc với AC tại M. Điểm H không nhất thiết phải nằm trên tia BM.
Để chứng minh BM là tia phân giác của ∠ABC, ta cần chứng minh ∠ABM=∠CBM. Tuy nhiên, với cách dựng điểm H và M như đề bài, điểm M nằm trên AC, và tia BM không được định nghĩa trực tiếp từ giả thiết HB = BA.
Có vẻ như có một sự nhầm lẫn trong cách diễn đạt hoặc vị trí của các điểm. Nếu đề bài muốn nói rằng điểm M nằm trên BC sao cho BM = BA, thì chứng minh sẽ khác.
Tuy nhiên, nếu giả sử điểm M trùng với điểm H trên BC sao cho HB = BA, thì ta có thể tiếp tục như sau:

Xét tam giác ABH có BA = BH (giả thiết). Vậy tam giác ABH là tam giác cân tại B.
Trong tam giác cân ABH, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cân đồng thời là đường cao và đường phân giác. Tuy nhiên, chúng ta chưa có thông tin nào về việc AM là đường trung tuyến.
Chúng ta cần làm rõ vị trí chính xác của điểm M. Nếu M là hình chiếu vuông góc của H trên AC, thì BM không nhất thiết là tia phân giác của ∠ABC.

c) Chứng minh BE = DE.

Ta có HM vuông góc với BC tại H.
Điểm D nằm trên tia đối của MB sao cho MB = MD. Vậy B là trung điểm của đoạn thẳng MD.
DN vuông góc với AC tại N.
E là giao điểm của DN và BC.
Xét tam giác BMD, vì B là trung điểm của MD nên mọi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MD sẽ cách đều M và D. Đường trung trực của MD là đường thẳng đi qua B và vuông góc với MD.

Ta có MB nằm trên đường thẳng BC. Vì D nằm trên tia đối của MB, nên M, B, D thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường thẳng vuông góc với MD tại B chính là đường thẳng vuông góc với BC tại B.

Tuy nhiên, DN vuông góc với AC tại N và cắt BC tại E. Chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa E, D và B.

Xét điểm B. Khoảng cách từ B đến M là BM, và khoảng cách từ B đến D là BD. Theo giả thiết, BM = MD, và B nằm giữa M và D, vậy BD = BM.

Xét điểm E nằm trên BC. Ta có đường thẳng DN vuông góc với AC tại N.

Để chứng minh BE = DE, ta có thể xét tam giác BDE. Nếu tam giác BDE cân tại E, thì BE = DE.

Ta có thể sử dụng tọa độ hóa để giải bài toán này, nhưng có lẽ có một cách giải hình học thuần túy.

Xem xét lại giả thiết và hình vẽ:

Tam giác ABC vuông tại A, ∠B=60∘, suy ra ∠C=30∘.
HB = BA.
HM ⊥ AC tại M.
D thuộc tia đối của MB sao cho MB = MD.
DN ⊥ AC tại N, E là giao điểm của DN và BC.
Chứng minh phần b) nếu có sự điều chỉnh về điểm M:

Nếu điểm M nằm trên BC sao cho BM = BA:

Xét tam giác ABM có BA = BM (giả thiết). Vậy tam giác ABM cân tại B.
Trong tam giác cân ABM, ∠BAM=∠BMA.
∠ABM+∠BAM+∠BMA=180∘
∠ABM+2∠BAM=180∘
Chúng ta cần chứng minh ∠ABM=∠CBM=21∠ABC=21×60∘=30∘.

Tuy nhiên, với M là hình chiếu của H trên AC, phần b) có thể không đúng.

Chứng minh phần c) BE = DE (với giả thiết ban đầu):

Vì B là trung điểm của MD, nên B cách đều M và D.
Xét đường thẳng AC. HM ⊥ AC và DN ⊥ AC, suy ra HM // DN.
Xét tam giác MED có B là trung điểm của MD. Nếu BE song song với HM và DN, thì E sẽ là trung điểm của một đoạn thẳng nào đó. Tuy nhiên, E nằm trên BC.
Chúng ta có thể sử dụng tính chất đối xứng:

Vì B là trung điểm của MD và HM // DN (cùng vuông góc với AC), hình thang MHDN có thể có tính chất đối xứng qua điểm B nếu các đường thẳng MH và ND có độ dài bằng nhau và đối xứng qua B.
Xét tam giác vuông ABH (vuông tại H nếu H trùng M): Điều này không đúng vì HM vuông góc AC.

Xét tam giác vuông ABM (nếu M là hình chiếu của H trên AC): Tam giác này vuông tại M.

Chúng ta cần một cách tiếp cận khác cho phần c).

Vì B là trung điểm của MD, xét phép đối xứng tâm B. Phép đối xứng này biến M thành D và ngược lại.
Đường thẳng HM vuông góc với AC. Đường thẳng DN vuông góc với AC. Vậy HM // DN.
Xét hình thang MHDN. B là trung điểm của đường chéo MD. Gọi giao điểm của HN và MC là P. Khi đó, B cũng là trung điểm của NP.

Xét tam giác DNC vuông tại N. Xét tam giác HMB vuông tại M.

Chúng ta cần sử dụng vị trí của điểm E trên BC.

E là giao điểm của DN và BC.
Xét tam giác MBD có B là trung điểm của MD. Xét đường thẳng qua B song song với HM (hoặc DN). Đường thẳng này sẽ cắt MD tại B và cắt MN tại trung điểm của MN.

Một cách tiếp cận khác:

Vẽ hình chính xác theo đề bài.
Sử dụng tính chất của các tam giác vuông và góc đã biết.
Phần a) đã giải: ∠C=30∘.

Phần b) Chứng minh BM là tia phân giác góc ABC (cần làm rõ điểm M):

Nếu M là hình chiếu của H trên AC, thì không có lý do gì để BM là tia phân giác của ∠ABC trừ khi có một cấu trúc đặc biệt nào đó.

Phần c) Chứng minh BE = DE:

Xét tam giác vuông ABC có ∠B=60∘, ∠C=30∘.
HB = BA. Tam giác ABH cân tại B, ∠BAH=∠BHA=2180∘−60∘=60∘. Vậy tam giác ABH là tam giác đều.
HM ⊥ AC tại M. Trong tam giác đều ABH, đường cao HM cũng là đường trung tuyến, nên M là trung điểm của AH.
D thuộc tia đối của MB sao cho MB = MD.
DN ⊥ AC tại N.
E là giao điểm của DN và BC.
Xét tam giác MBD có B là trung điểm của MD.

Xét hệ tọa độ với A là gốc (0,0), AB trên trục Ox, AC trên trục Oy. A=(0,0) B=(BA,0) ∠C=30∘, tan(30∘) = ACAB⟹3 1=ACBA⟹AC=BA3 C=(0,BA3 )

Phương trình đường thẳng BC: BAx+BA3 y=1⟹3 x+y=BA3

Điểm H trên BC sao cho HB = BA. H=(xH,yH) (xH−BA)2+yH2=BA2 3 xH+yH=BA3 ⟹yH=BA3 −3 xH (xH−BA)2+(BA3 −3 xH)2=BA2 xH2−2BAxH+BA2+3(BA−xH)2=BA2 xH2−2BAxH+3(BA2−2BAxH+xH2)=0 xH2−2BAxH+3BA2−6BAxH+3xH2=0 4xH2−8BAxH+3BA2=0 (2xH−BA)(2xH−3BA)=0 xH=2BA hoặc xH=23BA (loại vì H trên đoạn BC) xH=2BA⟹yH=BA3 −3 2BA=2BA3 H=(2BA,2BA3 )

HM ⊥ AC (trục Oy), nên đường thẳng HM có phương trình y=2BA3 . M là giao điểm của HM và AC (trục Oy), nên M=(0,2BA3 ).

B=(BA,0), M=(0,2BA3 ) Đường thẳng MB: BAx+BA3 /2y=1⟹BAx+BA3 2y=1⟹3 x+2y=BA3

D thuộc tia đối của MB sao cho MB = MD. B là trung điểm của MD. D=(xD,yD) 2xD+0=BA⟹xD=2BA 2yD+BA3 /2=0⟹yD=−BA3 /2 D=(2BA,−BA3 /2)

DN ⊥ AC (trục Oy), nên đường thẳng DN có phương trình x=2BA. E là giao điểm của DN và BC: 3 (2BA)+yE=BA3 2BA3 +yE=BA3 yE=−BA3 E=(2BA,−BA3 )

BE=(2BA−BA)2+(−BA3 −0)2 =BA2+3BA2 =4BA2 =2BA DE=(2BA−2BA)2+(−BA3 −(−BA3 /2))2 =0+(−BA3 /2)2 =43BA2 =2BA3

Có vẻ có sai sót trong quá trình tính toán hoặc hiểu đề bài.

Xem xét lại phần c) bằng hình học thuần túy:

Tam giác ABH đều (BA = BH, ∠B=60∘).
HM là đường cao trong tam giác đều ABH, nên HM ⊥ AB. Điều này mâu thuẫn với HM ⊥ AC.
Đề bài có lẽ có sự nhầm lẫn về vị trí của điểm H hoặc cách dựng HM.

Nếu giả sử H là một điểm tùy ý trên BC sao cho HB = BA, và M là hình chiếu của H trên AC:

Tam giác ABH cân tại B.
Nếu đề bài đúng như trên, phần b) có thể không chứng minh được, và phần c) cần xem xét lại cẩn thận.

Với thông tin hiện tại, không thể chứng minh BM là tia phân giác góc ABC một cách trực tiếp.

Về phần c) BE = DE:

D nằm trên tia đối của MB sao cho MB = MD. B là trung điểm của MD.
DN ⊥ AC.
E là giao điểm của DN và BC.
Xét tam giác vuông tại A, ∠B=60∘. Kẻ đường trung tuyến AK trong tam giác vuông ABC (K là trung điểm BC). AK=BK=CK=21BC. ∠BAK=∠B=60∘, ∠CAK=∠C=30∘. Tam giác ABK đều.

Cần xem xét lại toàn bộ bài toán và hình vẽ để có hướng giải chính xác.

Nếu có bất kỳ sự điều chỉnh nào về đề bài, xin vui lòng thông báo để mình hỗ trợ bạn tốt hơn.

1 câu trả lời 346

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7