Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Giải bài:

Phần a)

Chứng minh \( AO \perp BC \):

- Vì \( AB \) và \( AC \) là hai tiếp tuyến chung từ \( A \) đến đường tròn tâm \( O \), nên:

\[
AB = AC
\]

- Góc giữa hai tiếp tuyến bằng góc giữa hai bán kính nối tới tiếp điểm, tức là:

\[
\angle BAO = \angle CAO
\]

- Xét tam giác \( ABC \), ta có:
\[
AB = AC \quad \Rightarrow \quad \triangle ABC \text{ cân tại A}.
\]
- Mà \( BC \) là đáy của tam giác cân.

- Trong tam giác cân, đường cao từ đỉnh cũng là đường trung tuyến và đường phân giác, nên:

\[
AO \perp BC
\quad \text{(đpcm)}
\]

Chứng minh tứ giác \( ABIO \) nội tiếp:

- Để chứng minh 4 điểm \( A, B, I, O \) cùng nằm trên 1 đường tròn, ta chứng minh:

\[
\angle ABI + \angle AOI = 180^\circ
\quad \text{(tổng 2 góc đối = 180 độ)}
\]

Xét:

- Vì \( OI \perp DE \) (theo đề bài), mà \( DE \) là một dây cung của đường tròn tâm \( O \).
- Vậy \( I \) nằm trên đường trung trực của dây \( DE \).

- Do tính chất hình học cơ bản:
- \( O \) là tâm, \( OI \perp DE \),
- \( I \) thuộc \( DE \), nên \( I \) nằm trên đường tròn đi qua \( B, A, O \).

- Cách khác (công thức gọn hơn):
- Gọi \( (O) \) là đường tròn ban đầu,
- \( AB \) là tiếp tuyến ⇒ \( \angle ABO = 90^\circ \) (góc tạo bởi tiếp tuyến và bán kính).
- \( \angle ABIO \) có 2 góc vuông (\( \angle ABO = 90^\circ \) và \( \angle OIB = 90^\circ \)).

=> Trong tứ giác \( ABIO \), có tổng 2 góc đối diện là \( 180^\circ \)
( \( 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)).

\[
\Rightarrow ABIO \text{ nội tiếp} \quad \text{(đpcm)}
\]

Phần b)

Chứng minh chi tiết:

- Gọi \( d \) là đường thẳng đi qua \( D \), vuông góc \( OB \).
- Vì \( D \) thuộc cung (hay dây) \( DE \) mà \( OI \perp DE \), nên:
- \( OI \) là đường trung trực của \( DE \).

- Mặt khác:

- \( DE \) là một đoạn trên cung lớn \( BC \).
- \( OB \) là bán kính, mà \( d \) lại vuông góc \( OB \).

=> Suy ra:
- \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( D \) lên \( BC \).
- \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( D \) lên \( BE \).

- Do đó, đường thẳng \( HK \) vuông góc với \( OB \).

Xét tam giác \( DEB \):

- \( OI \perp DE \).
- \( d \) vuông góc với \( OB \).
- Hai đường \( HI \) và \( KE \) đều song song với \( d \).

→ Suy ra:

\[
HI \parallel KE \quad \text{(đpcm)}
\]

\( AO \perp BC \)
Tứ giác \( ABIO \) nội tiếp
\( HI \parallel KE \)

...Xem thêm

Answer 2