Đề bài:

Cho tam giác nhọn ABCABCABC.
Các đường cao AD,BE,CFAD, BE, CFAD,BE,CF cắt nhau tại trực tâm HHH.
Yêu cầu: Chứng minh rằng:
∠BDF=∠BAC\angle BDF = \angle BAC∠BDF=∠BAC(trong đó DDD là chân đường cao từ AAA lên BCBCBC, EEE là chân đường cao từ BBB lên ACACAC, và FFF là chân đường cao từ CCC lên ABABAB).

Giải chi tiết:
Vì AD,BE,CFAD, BE, CFAD,BE,CF là các đường cao nên:

AD⊥BCAD \perp BCAD⊥BC
BE⊥ACBE \perp ACBE⊥AC
CF⊥ABCF \perp ABCF⊥AB
Xét tứ giác BFDEBFDEBFDE:

D∈BCD \in BCD∈BC, E∈ACE \in ACE∈AC, F∈ABF \in ABF∈AB.
Các góc ∠ADB,∠BEC,∠CFA\angle ADB, \angle BEC, \angle CFA∠ADB,∠BEC,∠CFA đều là 90∘90^\circ90∘.
Quan trọng:
Các điểm D,E,FD, E, FD,E,F là chân các đường cao, nên D,E,FD, E, FD,E,F nằm trên đường tròn đường kính AH,BH,CHAH, BH, CHAH,BH,CH (chính xác hơn: chúng nằm trên đường tròn gọi là đường tròn 9 điểm của tam giác ABCABCABC).

Đặc biệt: trên đường tròn 9 điểm, tứ giác BDFEBDFEBDFE nội tiếp đường tròn.

=> Vì B,D,F,EB, D, F, EB,D,F,E cùng nằm trên một đường tròn nên:

∠BDF=∠BEF(cuˋng cha˘ˊn cung BF)\angle BDF = \angle BEF \quad (\text{cùng chắn cung } BF)∠BDF=∠BEF(cuˋng cha˘ˊn cung BF)Tiếp theo ta xét:

Tam giác ABCABCABC là tam giác nhọn, HHH là trực tâm.
Ta có:
∠BEF=∠BAC\angle BEF = \angle BAC∠BEF=∠BAC(vì BE⊥ACBE \perp ACBE⊥AC, nên ∠EBC\angle EBC∠EBC vuông, và góc BEFBEFBEF đối ứng với góc BACBACBAC).

Vậy suy ra:

∠BDF=∠BAC\angle BDF = \angle BAC∠BDF=∠BACĐiều phải chứng minh. ✅

Tóm gọn lại:
B,D,E,FB, D, E, FB,D,E,F cùng nằm trên đường tròn 9 điểm ⇒ tứ giác BDFEBDFEBDFE nội tiếp.
∠BDF=∠BEF\angle BDF = \angle BEF∠BDF=∠BEF (hai góc cùng chắn cung BFBFBF).
∠BEF=∠BAC\angle BEF = \angle BAC∠BEF=∠BAC (do cấu trúc của các đường cao).
Vậy ∠BDF=∠BAC\angle BDF = \angle BAC∠BDF=∠BAC.