Tìm giá trị của x để Q = 2x : ( x -x + 1) là số nguyên

Dung Đàm Thị

đã hỏi trong Lớp 9 Toán học

· 14:08 21/04/2025

Tổng hợp đề thi vào lớp 10 môn Toán

Tìm giá trị của x để Q = 2 $\sqrt{}$ x : ( x - $\sqrt{}$ x + 1) là số nguyên

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 câu trả lời 99

Sang Phạm

7 tháng trước

Ta có biểu thức:

\[
Q = \frac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}
\]

Yêu cầu: Q là số nguyên.

Đặt:
\[
\sqrt{x} = a \Rightarrow x = a^2 \quad (a \ge 0)
\]

Biểu thức trở thành:

\[
Q = \frac{2a}{a^2 - a + 1}
\]

Ta cần tìm giá trị nguyên của Q ⇔ phân thức này là số nguyên.

Xét các giá trị nguyên nhỏ của $ a $:

- $ a = 0 \Rightarrow Q = \frac{0}{0 + 1} = 0 $ ⟹ nguyên
- $ a = 1 \Rightarrow Q = \frac{2}{1 - 1 + 1} = \frac{2}{1} = 2 $ ⟹ thỏa mãn!
→ Khi $ a = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1 $

Đáp án:
\[
\boxed{x = 1}
\] là giá trị thỏa mãn để $ Q $ là số nguyên.

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

TOANHOC

8 tháng trước

Chào bạn! Để Q=x−x +12x là một số nguyên, chúng ta cần phân tích biểu thức và tìm các giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện.

Điều kiện xác định: x≥0.

Phân tích mẫu số: Ta có x−x +1=(x )2−x +1. Để xét dấu của mẫu số, ta có thể nhân với 4: 4(x−x +1)=4x−4x +4=(2x )2−2⋅2x ⋅1+12+3=(2x −1)2+3. Vì (2x −1)2≥0 với mọi x≥0, nên (2x −1)2+3≥3>0. Vậy mẫu số x−x +1 luôn dương với mọi x≥0.

Để Q là số nguyên, 2x phải chia hết cho x−x +1.

Trường hợp 1: x=0 Q=0−0 +120 =10=0. 0 là một số nguyên, vậy x=0 là một giá trị thỏa mãn.

Trường hợp 2: x>0 Để Q là số nguyên, ta có Q∈Z. Vì x−x +1>0 và x ≥0, nên Q≥0.

Ta có thể viết lại biểu thức Q như sau: Q=x −1+x 12

Xét giới hạn của Q: Khi x rất lớn (x→∞), x →∞, do đó Q→0. Vì Q là số nguyên không âm, nên nếu x đủ lớn, Q phải bằng 0. Tuy nhiên, 2x =0 chỉ khi x=0, trường hợp này đã xét. Vậy với x>0 đủ lớn, Q không thể là số nguyên khác 0.

Xét các giá trị nhỏ của x:

Nếu x không phải là số chính phương: x là số vô tỉ, 2x là số vô tỉ. Mẫu số x−x +1 là số vô tỉ. Thương của hai số vô tỉ có thể là số hữu tỉ, nhưng để là số nguyên thì cần điều kiện đặc biệt.
Nếu x là số chính phương: Đặt x=k2 với k là số nguyên dương (k≥1). Q=k2−k+12k
Để Q là số nguyên, 2k phải chia hết cho k2−k+1. Suy ra ∣2k∣≥∣k2−k+1∣.

Xét k2−k+1: k2−k+1−2k=k2−3k+1 k2−k+1+2k=k2+k+1

Ta cần xét các trường hợp của k:

k=1 (x=1): Q=12−1+12⋅1=12=2 (là số nguyên). Vậy x=1 là một giá trị thỏa mãn.
k=2 (x=4): Q=22−2+12⋅2=4−2+14=34 (không là số nguyên).
k=3 (x=9): Q=32−3+12⋅3=9−3+16=76 (không là số nguyên).
Xét bất đẳng thức ∣2k∣≥∣k2−k+1∣ với k≥1: Vì k≥1, 2k>0 và k2−k+1=(k−21)2+43>0. Ta có 2k≥k2−k+1 0≥k2−3k+1

Tìm nghiệm của k2−3k+1=0: k=23±(−3)2−4⋅1⋅1 =23±9−4 =23±5 . 23−5 ≈23−2.236≈0.382 23+5 ≈23+2.236≈2.618

Vậy k2−3k+1≤0 khi 23−5 ≤k≤23+5 . Vì k là số nguyên dương, các giá trị có thể của k là 1,2.

Ta đã xét k=1 và k=2. Chỉ k=1 cho Q là số nguyên.

Kết luận: Các giá trị của x để Q là số nguyên là x=0 và x=1.

Kiểm tra lại:

Với x=0, Q=0 (số nguyên).
Với x=1, Q=2 (số nguyên).

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn muốn hỏi bài tập?