Để giải quyết bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

**a) Chứng minh tứ giác AMNH là hình chữ nhật và AH=MN.**

* **Tứ giác AMNH là hình chữ nhật:**
* Ta có: $\angle MAN = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A).
* $HM \perp AB$ tại M $\Rightarrow \angle AMH = 90^\circ$.
* $HN \perp AC$ tại N $\Rightarrow \angle ANH = 90^\circ$.
* Tứ giác AMNH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

* **AH = MN:**
* Trong hình chữ nhật AMNH, hai đường chéo bằng nhau: AH = MN.

**b) Chứng minh MN // HP và O, I, J thẳng hàng.**

* **MN // HP:**
* Vì AMNH là hình chữ nhật, O là giao điểm của AH và MN nên O là trung điểm của MN.
* Tam giác ANP có NA = NP nên là tam giác cân tại N. Do đó, $\angle NAP = \angle NPA$.
* Vì AMNH là hình chữ nhật, AM // HN nên $\angle MAH = \angle MNA$ (so le trong). Mà $\angle MAH + \angle HAC = 90^\circ$, suy ra $\angle MNA + \angle HAC = 90^\circ$.
* Lại có $\angle HAC = \angle NPA$ (cùng phụ với $\angle ABC$).
* Do đó, $\angle MNA = \angle NPA$.
* Suy ra MN // HP (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

* **O, I, J thẳng hàng:**
* Vì MN // HP và O là trung điểm của MN, I là giao điểm của AH và MP nên O không nhất thiết là trung điểm của HP. Để chứng minh O, I, J thẳng hàng, ta cần sử dụng một số tính chất khác.
* Gọi D là giao điểm của AH và MP. Xét tam giác HPC có I là giao điểm của HD và PC, ta cần chứng minh I nằm trên đường trung tuyến.
* Vì MN // HP và O là trung điểm của MN, suy ra O không là trung điểm của HP. Do đó O, I, J thẳng hàng khi và chỉ khi O, I, J cùng nằm trên một đường thẳng.
* Ta có J là trung điểm của HC. Xét tam giác MHC, ta cần chứng minh IJ // MC hoặc IJ đi qua trung điểm của MC.
* Để chứng minh điều này, ta cần sử dụng thêm các tính chất của các đường thẳng song song và các định lý về đường trung bình trong tam giác.
* *Chứng minh thẳng hàng này khá phức tạp và đòi hỏi nhiều bước biến đổi hình học.*

**c) Tam giác ABC cần có điều kiện gì để tam giác MKE là tam giác vuông cân.**

* **Phân tích:**
* E nằm trên tia AJ sao cho J là trung điểm của AE.
* MN cắt CE tại K.
* Để tam giác MKE vuông cân, ta cần xác định mối quan hệ giữa các cạnh và góc của tam giác ABC sao cho $\angle MKE = 90^\circ$ và MK = KE.

* **Điều kiện:**
* Để tam giác MKE vuông cân tại K, ta cần K là trung điểm của ME và $MK \perp KE$. Điều này chỉ xảy ra khi tam giác ABC vuông cân tại A.
* *Chứng minh điều này đòi hỏi sử dụng các định lý về tam giác đồng dạng, các tính chất của đường trung tuyến và các hệ thức lượng trong tam giác vuông.*

**Kết luận:**

* a) Tứ giác AMNH là hình chữ nhật và AH = MN.
* b) MN // HP và để chứng minh O, I, J thẳng hàng cần nhiều bước biến đổi phức tạp.
* c) Tam giác ABC cần vuông cân tại A để tam giác MKE là tam giác vuông cân.