Để tìm giá trị của góc giữa đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ trong một hình lập phương, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

 1. Thiết lập hệ tọa độ
Giả sử hình lập phương có các đỉnh như sau:
- $A(0, 0, 0)$
- $B(1, 0, 0)$
- $C(1, 1, 0)$
- $D(0, 1, 0)$
- $A(0, 0, 1)$
- $B(1, 0, 1)$
- $C(1, 1, 1)$
- $D(0, 1, 1)$

Vậy phương trình mặt phẳng $(ABCD)$ là mặt phẳng z = 0.

 2. Xác định tọa độ của điểm B và D
- Tọa độ điểm $B$: $(1, 0, 0)$
- Tọa độ điểm $D$: $(0, 1, 0)$

3. Tính vector BD
Vector $\overrightarrow{BD}$:
$\overrightarrow{BD} = D - B = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)$

 4. Tìm một vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD)
Mặt phẳng $(ABCD)$ nằm trên mặt phẳng $z = 0$, do đó vector pháp tuyến của mặt phẳng này có thể được xác định là:
$\overrightarrow{n} = (0, 0, 1)$

 5. Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (ABCD)
Góc giữa một vector và mặt phẳng bằng góc giữa vector đó và vector pháp tuyến của mặt phẳng. Ta sử dụng định nghĩa cosin:

$\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{n}|}$

 6. Tính độ dài và tích vô hướng

- Tính độ dài $|\overrightarrow{BD}|$:
$|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

- Tính độ dài $|\overrightarrow{n}|$:
$|\overrightarrow{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$

- Tính tích vô hướng $\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{n}$:
$\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{n} = (-1, 1, 0) \cdot (0, 0, 1) = 0$

 7. Tính cos θ

Vậy cos θ:
$\cos \theta = \frac{|0|}{\sqrt{2} \cdot 1} = 0$

 8. Tính góc θ
- Vì $\cos \theta = 0$, => $\theta = 90^\circ$

Như vậy, vì điểm D nằm ở mặt phẳng $ABCD$, cùng với điểm B, nên góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng $(ABCD)$ là $90^\circ$.

Kết luận
Giá trị của góc giữa đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $90^\circ$.