### Bài 1:

Cho tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), với \( AB = AC \), và đường trung tuyến \( BD \) và \( CE \) bằng nhau tại điểm \( G \).

#### a. Chứng minh \( GD = GE \)

1. **Tính chất đường trung tuyến**: Vì \( BD \) và \( CE \) là trung tuyến, khi đó \( D \) và \( E \) là trung điểm của các cạnh \( AC \) và \( AB \) lần lượt.
2. **Khảo sát hai tam giác \( BGD \) và \( CGE \)**:
- \( BD = CE \) (giả thiết).
- \( BG = CG \) (vì \( G \) là trọng tâm).
- \( GD = GE \) (cần chứng minh).
3. **Áp dụng định lý về trung điểm**: Từ tính chất trung điểm và đoạn thẳng song song, ta có
\[
GD = GE
\]

#### b. Chứng minh \( \triangle BDC \cong \triangle CEB \)

1. **Sử dụng định lý tam giác**:
- \( AB = AC \) (bởi vì tam giác cân tại \( A \)).
- \( BD = CE \) (giả thiết).
- \( BC = BC \) (đoạn chung).
2. **Sử dụng tiêu chuẩn \( \triangle BDC \cong \triangle CEB \)** (cạnh - cạnh - cạnh):
\[
\triangle BDC \cong \triangle CEB
\]

---

### Bài 2:

Cho tam giác \( ABC \) có trọng tâm \( G \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \). Trên tia đối của \( MG \) lấy điểm \( D \) sao cho \( MD = MG \).

#### a. Chứng minh \( GD = GA \)

1. **Sử dụng tính chất trọng tâm**: Ta có \( G \) là trọng tâm, vậy từ \( G \) đến \( A \) có tỉ lệ
\[
AG = 2GM
\]
2. **Xét đoạn \( GD = GA - AG \)**, ta có:
\[
GD = 2GM = GA
\]

#### b. Chứng minh \( CG \) là trung tuyến của tam giác \( ACD \)

1. **Xét \( M \) là trung điểm của \( BC \)**: Do đó \( MC = MB \) (tính chất trung điểm).
2. **Xét hình chiếu**: Biểu thức cho đoạn thẳng \( AC \) và \( AD \) sẽ có tỉ lệ. Suy ra \( CG \) cắt \( AD \) tại \( M \), nơi \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( AD \).

#### c. Chứng minh \( BG \) song song với \( CD \):

1. **Sử dụng tính chất đối song song**:
\[
BG \parallel CD \implies \text{Các đoạn tương ứng cân bằng nhau}.
\]

---

### Bài 3:

Cho tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) và đường trung tuyến \( AD \); \( G \) là trọng tâm. Trên tia đối của \( DA \) lấy điểm \( E \) sao cho \( DE = DG \).

#### a. Chứng minh \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \)

1. **Sử dụng tính chất tam giác cân**:
- \( AB = AC \).
- \( AD = AD \) (đoạn chung).
- \( BD = CD \) (do \( D \) là trung điểm).
2. **Suy ra**:
\[
\triangle ABD \cong \triangle ACD \text{ (cạnh-cạnh-cạnh)}
\]

#### b. Chứng minh \( BG = GC = CE = BE \)

1. **Sử dụng định nghĩa trọng tâm**: Từ \( G \) là trung điểm, ta có:
\[
BG = GE = GC.
\]
Vậy tất cả các đoạn \( BE, CE, BG \) bằng nhau do thuộc cùng một tam giác và tỉ lệ của đoạn.

#### c. Chứng minh \( \triangle ABE \cong \triangle ACE \)

1. **Lại uy tín \( ABE \)** và chỉ rõ đoạn \( AE \):
- \( AB = AC \).
- \( BE = CE \) (do \( E \) nằm trên cùng một lạnh).
- \( AE = AE \) (đoạn chung).
2. **Kết luận**:
\[
\triangle ABE \cong \triangle ACE \text{ (cạnh-cạnh-cạnh)}
\]

Hy vọng những chỉ dẫn trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn các chứng minh trong bài toán hình học này!