Để chứng minh các tính chất trong hình vẽ liên quan đến tam giác \( ABC \) và các điểm \( M, I, N, H \), ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

 a) Chứng minh rằng tam giác \( AMB \) bằng tam giác \( AMC \)

Để chứng minh hai tam giác \( AMB \) và \( AMC \ bằng nhau, chúng ta sẽ sử dụng các thuộc tính của tam giác và điểm giữa.

1. Thông tin đã cho:
- \( AB = AC \) (do \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \))
- \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BM = MC \).

2. Xét các cạnh tương ứng:
- \( AM \) là cạnh chung của hai tam giác.
- \( AB = AC \) (cạnh tương ứng).
- \( BM = MC \) (cạnh tương ứng).

3. Áp dụng tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (CCS):
Như vậy, từ những thông tin trên, ta có:

\[
\triangle AMB \cong \triangle AMC \quad (\text{theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh})
\]

 b) Suy ra \( AM \) vuông góc với \( BC \)

Khi \( \triangle AMB \) và \( \triangle AMC \) là hai tam giác bằng nhau:

1. Điều này dẫn đến \( \angle AMB = \angle AMC \).
2. Mà góc \( \angle AMB + \angle AMC = 180^\circ \) do góc trong của tam giác.
3. Do đó, suy ra từ điều kiện trên:

\[
\angle AMB + \angle AMC = 180^\circ \implies \text{góc \(AM\) vuông góc với \(BC\)}.
\]

c) Chứng minh rằng tam giác \( IBC \) bằng tam giác \( INB \)

Giả sử \( I \) là trung điểm của \( AC \). Ta sẽ cố gắng chứng minh rằng tam giác \( IBC \) và \( INB \) bằng nhau.

1. Thông tin đã cho:
- \( I \) là trung điểm của \( AC \) nên \( AI = IC \).
- \( IN = IB \) (do đã cho là điểm đối của \( I \)).

2. Xét các cạnh:
- \( IB = IN \) (cạnh tương ứng).
- \( BC \) là cạnh chung.
- \( AI = IC \) (cạnh tương ứng).

3. Áp dụng tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (CCS):
Như vậy, từ những thông tin trên:

\[
\triangle IBC \cong \triangle INB \quad (\text{theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh})
\]

d) Chứng minh rằng \( H, I, M \) thẳng hàng

1. Gọi \( H \) là trung điểm của \( AN \).

2. Từ hai tam giác \( IBC \) và \( INB \), ta có:
- \( I \) và \( N \) là những điểm đối nhau trên đường chéo.
- Vì \( H \) là trung điểm của \( AN \) và \( I \) là trung điểm của \( AC \), vẽ đường nối \( H \) đến \( I \).

3. Do tính chất của trung điểm, ta có thể chứng minh rằng:
- Do \( H \) và \( I \) là trung điểm, điểm \( M \) cũng nằm trên đường thẳng nối hai điểm này.
- Góc giữa \( HI \) và \( AM \) là \( 180^\circ \).

Như vậy, ba điểm \( H, I, M \) thẳng hàng.

Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán, với các bước cụ thể cho từng phần, thể hiện sự liên kết và tương quan giữa các điểm và tam giác trong cấu trúc hình học này.