Để tính khoảng cách từ điểm $M(1, 2)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x - 4y - 3 = 0$, ta sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Trong đó:
- $(x_0, y_0)$ là tọa độ của điểm mà chúng ta muốn tính khoảng cách (ở đây $(1, 2)$)
- $A$, $B$, $C$ là các hệ số trong phương trình của đường thẳng có dạng $Ax + By + C = 0$.

 Xác định $A$, $B$, $C$:
Từ phương trình của đường thẳng $3x - 4y - 3 = 0$, ta có:
- $A = 3$
- $B = -4$
- $C = -3$

 Tọa độ của điểm $M$:
- $x_0 = 1$
- $y_0 = 2$

Tính toán khoảng cách:
Bây giờ ta thay các giá trị vào công thức:

$d = \frac{|3(1) - 4(2) - 3|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$

\ Tính tử số:
$|3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 - 3| = |3 - 8 - 3| = |-8| = 8$

\ Tính mẫu số:
$\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

\ Tính khoảng cách $d$:
$d = \frac{8}{5}$

Vậy khoảng cách từ điểm $M(1, 2)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x - 4y - 3 = 0$ là $\frac{8}{5}$.

Kết quả cuối cùng là:
$\boxed{\frac{8}{5}}$