Để tìm hệ số của số hạng chính giữa trong khai triển $(3x + 2y)^4$, trước hết chúng ta cần số lượng các số hạng trong khai triển này.

Áp dụng định lý nhị thức Newton, ta biết rằng khai triển của biểu thức $(a + b)^n$ có dạng sau:

$\sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k$

Trong trường hợp của chúng ta, $n = 4$, $a = 3x$ và $b = 2y$.

 1. Tính số hạng chính giữa:
Khi $n$ là một số chẵn, số hạng chính giữa thuộc về số hạng thứ $\left(\frac{n}{2} + 1\right)$. Trong trường hợp này:

$n = 4 \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{2} + 1 = 3$

Như vậy, số hạng chính giữa là số hạng thứ 3 trong khai triển.

 2. Tính số hạng thứ 3:
Số hạng thứ $k$ trong khai triển $(3x + 2y)^n$ được tính bằng công thức:
$C(n, k) a^{n-k} b^k$

Trong trường hợp này, số hạng thứ 3 tương ứng với $k = 2$ (do $k$ bắt đầu từ 0):

$C(4, 2) (3x)^{4-2} (2y)^2$

 3. Tính từng thành phần:
- Tính $C(4, 2)$:
$C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

- Tính $(3x)^{2}$:
$(3x)^2 = 9x^2$

- Tính $(2y)^{2}$:
$(2y)^2 = 4y^2$

 4. Kết hợp lại:
Số hạng thứ 3 sẽ là:
$6 \cdot 9x^2 \cdot 4y^2 = 6 \cdot 9 \cdot 4 \cdot x^2y^2$

- Tính giá trị:
$6 \times 9 = 54$
$54 \times 4 = 216$

 5. Hệ số:
Vậy, hệ số của số hạng chính giữa trong khai triển $(3x + 2y)^4$ là $\boxed{216}$.