Để chứng minh các yêu cầu trong câu hỏi, trước tiên hãy đặt một số ký hiệu cho các điểm trong tam giác vuông cân ABC tại A. Giả sử:

- Tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC.
- Gọi M là hình chiếu của A trên BC, tức là $AM \perp BC$.
- Gọi D là điểm thuộc đoạn CM (khác C và M).
- Kẻ các đường thẳng CH và BN vuông góc với đường thẳng AD tại H và N.

Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các khẳng định trong phần a) và b).

 a) Chứng minh tam giác HCA = tam giác NAB

Ký hiệu:
- Đặt $AB = AC = a$.
- Gọi $AM = h$.

 Các bước chứng minh:

1. Chứng minh các cạnh tương ứng:

- Cạnh CA:
- Trong tam giác ABC vuông cân, $CA = a$.

- Cạnh NA:
- Ben dưới, $NB$ vuông góc với $AD$, dễ dàng chỉ ra rằng $NA$ là cạnh vuông tại A trong tam giác đều $NAB$.

- Cạnh AH:
- Hiển nhiên từ định nghĩa, ta có $AH \perp AD$ nên $AH = AM = h$ bằng chiều cao từ A.

- Cạnh HC:
- Tương tự, $HC$ là đoạn vuông góc từ C đến AD.

2. Giả sử các góc:

- $\angle AHC = 90^\circ$ (vì $AH \perp AD$)
- $\angle NAB = 90^\circ$ (vì $NA \perp AB$)

3. Góc tương ứng:
- $\angle HCA = \angle NAB$ vì chúng cùng nằm trong tam giác vuông.

Kết luận:
- Ta vừa chứng minh $CA = NA$, $AH = HC$ và $\angle AHC = \angle NAB = 90^\circ$.
- Do đó, theo tiêu chuẩn cạnh - góc - cạnh (c.g.c), ta có:

$\triangle HCA \cong \triangle NAB$

 b) Chứng minh HM vuông góc với NM

 Các bước chứng minh:

1. Xét vị trí các điểm:

- M là hình chiếu của A trên BC.
- H là điểm nằm trên đường AD vuông góc với CH.

2. Để chứng minh:

- Xét tam giác NC và NM.
- Khi NM và CM hợp với BC cùng một góc vuông, cả M và N đều nằm trên đường thẳng BC.

3. Sử dụng độ dài:

- Từ $\triangle HCA \cong \triangle NAB$, suy ra HM cũng phải vuông góc với NM tại H.

 Kết luận:

- Đoạn thẳng $HM$ và đoạn thẳng $NM$ hợp nhau tại H, và chúng ta có thể xác định được rằng chúng tạo thành một tương quan vuông góc.

Từ các lý lẽ và chứng minh trên, ta khẳng định:

- Tam giác HCA = tam giác NAB (phần a).
- HM vuông góc với NM (phần b).

Hy vọng lời giải này hữu ích cho bạn!

Để chứng minh các yêu cầu trong câu hỏi, trước tiên hãy đặt một số ký hiệu cho các điểm trong tam giác vuông cân ABC tại A. Giả sử:

- Tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC.
- Gọi M là hình chiếu của A trên BC, tức là
A
M
⊥
B
C
.
- Gọi D là điểm thuộc đoạn CM (khác C và M).
- Kẻ các đường thẳng CH và BN vuông góc với đường thẳng AD tại H và N.

Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các khẳng định trong phần a) và b).

a) Chứng minh tam giác HCA = tam giác NAB

Ký hiệu:
- Đặt
A
B
=
A
C
=
a
.
- Gọi
A
M
=
h
.

Các bước chứng minh:

1. Chứng minh các cạnh tương ứng:

- Cạnh CA:
- Trong tam giác ABC vuông cân,
C
A
=
a
.

- Cạnh NA:
- Ben dưới,
N
B
vuông góc với
A
D
, dễ dàng chỉ ra rằng
N
A
là cạnh vuông tại A trong tam giác đều
N
A
B
.

- Cạnh AH:
- Hiển nhiên từ định nghĩa, ta có
A
H
⊥
A
D
nên
A
H
=
A
M
=
h
bằng chiều cao từ A.

- Cạnh HC:
- Tương tự,
H
C
là đoạn vuông góc từ C đến AD.

2. Giả sử các góc:

-
∠
A
H
C
=
90
∘
(vì
A
H
⊥
A
D
)
-
∠
N
A
B
=
90
∘
(vì
N
A
⊥
A
B
)

3. Góc tương ứng:
-
∠
H
C
A
=
∠
N
A
B
vì chúng cùng nằm trong tam giác vuông.

Kết luận:
- Ta vừa chứng minh
C
A
=
N
A
,
A
H
=
H
C
và
∠
A
H
C
=
∠
N
A
B
=
90
∘
.
- Do đó, theo tiêu chuẩn cạnh - góc - cạnh (c.g.c), ta có:

△
H
C
A
≅
△
N
A
B

b) Chứng minh HM vuông góc với NM

Các bước chứng minh:

1. Xét vị trí các điểm:

- M là hình chiếu của A trên BC.
- H là điểm nằm trên đường AD vuông góc với CH.

2. Để chứng minh:

- Xét tam giác NC và NM.
- Khi NM và CM hợp với BC cùng một góc vuông, cả M và N đều nằm trên đường thẳng BC.

3. Sử dụng độ dài:

- Từ
△
H
C
A
≅
△
N
A
B
, suy ra HM cũng phải vuông góc với NM tại H.

Kết luận:

- Đoạn thẳng
H
M
và đoạn thẳng
N
M
hợp nhau tại H, và chúng ta có thể xác định được rằng chúng tạo thành một tương quan vuông góc.

Từ các lý lẽ và chứng minh trên, ta khẳng định:

- Tam giác HCA = tam giác NAB (phần a).
- HM vuông góc với NM (phần b).

Hy vọng lời giải này hữu ích cho bạn!