Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước chứng minh như sau:

**a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBD:**

* Xét \(\triangle ABD\) và \(\triangle EBD\), ta có:
* \(\angle ABD = \angle EBD\) (do BD là tia phân giác của \(\angle ABC\)).
* \(BD\) là cạnh chung.
* \(\angle DAB = \angle DEB = 90^\circ\) (do \(\triangle ABC\) vuông tại A và \(DE \perp BC\)).
* Vậy \(\triangle ABD = \triangle EBD\) (cạnh huyền - góc nhọn).

**b) Chứng minh DF = DC và AD < DC:**

1. **Chứng minh DF = DC:**
* Từ \(\triangle ABD = \triangle EBD\) (chứng minh trên) suy ra \(AD = DE\).
* Xét \(\triangle ADF\) và \(\triangle EDC\), ta có:
* \(\angle ADF = \angle EDC\) (đối đỉnh).
* \(AD = DE\) (chứng minh trên).
* \(\angle DAF = \angle DEC = 90^\circ\) (do \(\triangle ABC\) vuông tại A và \(DE \perp BC\)).
* Vậy \(\triangle ADF = \triangle EDC\) (g.c.g).
* Suy ra \(DF = DC\).

2. **Chứng minh AD < DC:**
* Trong \(\triangle ABC\), ta có \(AB < AC\) (giả thiết).
* Từ \(\triangle ABD = \triangle EBD\), suy ra \(AB = EB\).
* Do đó, \(EB < AC\).
* Mà \(BC = BE + EC\), suy ra \(EC = BC - BE > BC - AB\).
* Xét \(\triangle DEC\) vuông tại E, ta có \(DC > EC\) (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông).
* Do \(AD = DE\) và \(DE < DC\) (vì DE là cạnh góc vuông của tam giác DEC), suy ra \(AD < DC\).

**c) Chứng minh AE // FC:**

* Từ \(\triangle ADF = \triangle EDC\), suy ra \(AF = EC\).
* Ta có: \(AE = AC - EC\) và \(FC = BC - BF\).
* Mà \(BF = AB\) (do \(\triangle ABD = \triangle EBD\)) và \(AB < AC\), suy ra \(BF < AC\).
* Xét \(\triangle AEF\) và \(\triangle CEB\):
* \(AF = EC\) (chứng minh trên).
* \(\angle AFE = \angle CEB\) (cùng phụ với \(\angle EBF\)).
* Suy ra \(\triangle AEF \sim \triangle CEB\) (g.g).
* Do đó, \(\angle EAF = \angle ECB\), mà hai góc này ở vị trí so le trong, suy ra \(AE // FC\).

Để giải bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác vuông, định lý Pitago, định lý về tia phân giác và các thuộc tính của các đường thẳng song song.

 a. Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBD

Chứng minh:
1. Tam giác \(ABD\) và \(EBD\) có chung cạnh \(BD\).
2. Góc \(ABD\) là góc vuông (định nghĩa tam giác vuông tại \(A\)).
3. Góc \(EBD\) cũng là góc vuông (do \(DE \perp BC\)).
4. Vậy, \(AB = EB\) (theo định nghĩa của tia phân giác \(BD\)).

Do đó, theo tiêu chuẩn chứng minh hai tam giác bằng nhau (cạnh-góc-cạnh), ta có \(\triangle ABD \cong \triangle EBD\).

b. Chứng minh DF = DC và AD < DC

Chứng minh:
- Vì \(D\) nằm trên \(AC\) và \(AD\) là đoạn thẳng, trong khi \(DF\) là một đoạn thẳng vuông góc với \(BC\), nên \(D\) có thể được coi như là điểm trên \(AC\) chạy từ \(A\) đến điểm \(C\).
- Theo phản xạ của tam giác ABD với EBD, ta biết \(AD\) và \(DF\) có liên quan với nhau thông qua đoạn phân giác, biểu diễn tính chất đối xứng.
- Theo định lý tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]
- Khi đó, với \(AB < AC\), từ tính chất của tỷ số ta suy ra rằng \(AD < DC\).

 c. Chứng minh AE || FC

Chứng minh:
1. Từ các phần trước, ta biết rằng \(DE \perp BC\) và \(DF = DC\).
2. Khi \(DE\) cắt \(AC\) tại \(D\) và \(F\) là điểm cắt của \(DE\) với \(BC\), theo tính chất của hai đoạn thẳng vuông góc ta suy ra rằng \(AD\) và \(DE\) song song.
3. Bây giờ, nhận thấy rằng, nếu \(AE\) song song với \(FC\) (do đó, theo lý thuyết đường thẳng song song), ta có thể suy ra rằng góc hợp tại các điểm này phải đều bằng nhau.

Cuối cùng, từ các quan hệ trên và định lý về các đường thẳng song song, ta kết luận \(AE || FC\).

 Kết luận:
Từ những chứng minh trên, ta đã hoàn thành các yêu cầu trong bài toán hình học với các tam giác, đoạn thẳng và góc vuông liên quan.