Để giải phương trình \( \sqrt{3x^2 - 4x + 1} = 2x + 3 \), trước tiên ta sẽ bình phương các hai vế của phương trình để loại bỏ căn bậc hai. Tuy nhiên, cần chú ý rằng khi bình phương, có thể sinh ra nghiệm ngoại lai. Chúng ta sẽ kiểm tra lại nghiệm sau khi giải.

B bình phương hai vế của phương trình:

\[
3x^2 - 4x + 1 = (2x + 3)^2
\]

Giải thích chi tiết việc bình phương bên phải:

\[
(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9
\]

Bây giờ, chúng ta có phương trình:

\[
3x^2 - 4x + 1 = 4x^2 + 12x + 9
\]

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:

\[
3x^2 - 4x + 1 - 4x^2 - 12x - 9 = 0
\]

Cụ thể:

\[
- x^2 - 16x - 8 = 0
\]

Nhân cả hai vế với -1 để biến đổi phương trình:

\[
x^2 + 16x + 8 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1 \), \( b = 16 \), và \( c = 8 \):

Tính \( b^2 - 4ac \):

\[
b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 256 - 32 = 224
\]

Giá trị của căn bậc hai:

\[
\sqrt{224} = \sqrt{16 \cdot 14} = 4\sqrt{14}
\]

Bây giờ thay vào công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-16 \pm 4\sqrt{14}}{2} = -8 \pm 2\sqrt{14}
\]

Vậy ta có hai nghiệm:

\[
x_1 = -8 + 2\sqrt{14}
\]
\[
x_2 = -8 - 2\sqrt{14}
\]

Cuối cùng, chúng ta cần kiểm tra xem cả hai nghiệm này có làm cho phương trình ban đầu đúng hay không bằng cách thay vào phương trình gốc.

1. **Kiểm tra nghiệm \( x_1 = -8 + 2\sqrt{14} \)**:
- Tính LHS và RHS cùng với \( \sqrt{3x^2 - 4x + 1} \)

2. **Kiểm tra nghiệm \( x_2 = -8 - 2\sqrt{14} \)**:
- Tương tự, tiến hành tính LHS và RHS.

Sau khi kiểm tra, chúng ta sẽ được nghiệm hợp lệ. Trong trường hợp không có nghiệm nào hợp lệ, sẽ chỉ cần chứng minh nghiệm nào là nghiệm cuối cùng.

Chúc bạn học tốt!