Để giải phương trình \( 4^x + 4^{-x} = 2 \), ta đặt \( y = 2^x \). Khi đó, ta có:

\[
4^x = (2^x)^2 = y^2 \quad \text{và} \quad 4^{-x} = (2^{-x})^2 = \frac{1}{y^2}
\]

Thay vào phương trình, ta có:

\[
y^2 + \frac{1}{y^2} = 2
\]

Nhân cả hai vế với \( y^2 \) để loại bỏ mẫu số:

\[
y^4 + 1 = 2y^2
\]

Sắp xếp lại:

\[
y^4 - 2y^2 + 1 = 0
\]

Gọi \( z = y^2 \), phương trình trở thành:

\[
z^2 - 2z + 1 = 0
\]

Điều này có thể được viết lại thành:

\[
(z - 1)^2 = 0
\]

Vậy \( z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = 1 \) (vì \( y = 2^x \) phải dương).

Do đó:

\[
2^x = 1 \Rightarrow x = 0
\]

Tiếp theo, ta cần tính biểu thức:

\[
A = \frac{4 - 2^x - 2^{-x}}{1 + 2^x + 2^{-x}}
\]

Thay \( x = 0 \) vào biểu thức:

\[
2^0 = 1 \quad \text{và} \quad 2^{-0} = 1
\]

Vậy:

\[
A = \frac{4 - 1 - 1}{1 + 1 + 1} = \frac{2}{3}
\]

Chúng ta có \( A = \frac{2}{3} \) với \( a = 2 \) và \( b = 3 \).

Cuối cùng, tính \( 2a + b \):

\[
2a + b = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7
\]

Vậy:

\[
\boxed{7}
\]