Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng bước chứng minh các phần a, b, và c như sau:

**a) Chứng minh B là trọng tâm của tam giác AED**

* **Phân tích:** Để chứng minh B là trọng tâm của tam giác AED, ta cần chứng minh B là giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác AED.

* **Chứng minh:**
* Vì H là trung điểm của BC nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC. Theo đề bài, AH = HD nên H là trung điểm của AD. Suy ra, CE là đường trung tuyến của tam giác AED.
* Theo đề bài, BE = BC. Vì H là trung điểm của BC nên $BC = 2BH$. Suy ra, $BE = 2BH$.
* Ta có $BE = BH + HE = 2BH$, suy ra $HE = BH$. Vậy H là trung điểm của BE.
* Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AH cũng là đường cao. Suy ra $AH \perp BC$, hay $AD \perp BC$. Do đó, AD là đường cao của tam giác AED. Vì AD vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên tam giác AED cân tại D.
* Vì tam giác AED cân tại D nên đường trung tuyến DE cũng là đường cao. Do đó, DE $\perp$ AE.
* Gọi K là giao điểm của AH và DE. Vì tam giác AED cân tại D nên DK là đường trung tuyến, đồng thời là đường cao. Suy ra, K là trung điểm của AE. Vậy DK là đường trung tuyến thứ hai của tam giác AED.
* Vì AH = HD nên H là trung điểm của AD. Do đó, BH là đường trung tuyến của tam giác AED.
* Vậy B là giao điểm của hai đường trung tuyến BH và CE của tam giác AED. Suy ra, B là trọng tâm của tam giác AED.

**b) Chứng minh M là trung điểm của DE**

* **Phân tích:** Ta cần chứng minh M là trung điểm của DE.

* **Chứng minh:**
* Vì B là trọng tâm của tam giác AED (chứng minh ở phần a) nên ta có: $BH = \frac{1}{3}BE$.
* Ta có $BE = BC$ (theo đề bài), mà $BH = \frac{1}{2}BC$ (vì H là trung điểm của BC).
* Suy ra $BH = \frac{1}{2}BE$. Vậy $BH = \frac{1}{2} * 2BH = BH$. Điều này không mâu thuẫn.
* Xét tam giác ADE, vì B là trọng tâm nên đường thẳng AB (kéo dài) sẽ đi qua trung điểm của cạnh đối diện DE. Gọi M là giao điểm của AB và DE.
* Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác, M là trung điểm của DE.

**c) Chứng minh ba điểm N, B, D thẳng hàng**

* **Phân tích:** Ta cần chứng minh ba điểm N, B, D thẳng hàng.

* **Chứng minh:**
* Gọi N là trung điểm của AE. Ta cần chứng minh D, B, N thẳng hàng.
* Vì B là trọng tâm của tam giác AED nên đường trung tuyến EN đi qua B. Do đó, ba điểm E, B, N thẳng hàng.
* Ta có M là trung điểm của DE (chứng minh ở phần b). Vậy AM là đường trung tuyến của tam giác ADE.
* Trong tam giác ADE, B là trọng tâm nên B nằm trên đường trung tuyến AM.
* Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AHE và đường thẳng DNB, ta có:
$\frac{AD}{DH} \cdot \frac{HB}{BE} \cdot \frac{EN}{NA} = 1$
Vì $AD = 2AH$, $DH = AH$ nên $\frac{AD}{DH} = 2$.
Vì $BE = BC$, $BH = \frac{1}{2}BC$ nên $\frac{HB}{BE} = \frac{1}{2}$.
Vì N là trung điểm của AE nên $\frac{EN}{NA} = 1$.
Vậy $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 1$.
* Theo định lý Menelaus đảo, ba điểm D, N, B thẳng hàng.

**Kết luận:**

* a) B là trọng tâm của tam giác AED.
* b) M là trung điểm của DE.
* c) Ba điểm N, B, D thẳng hàng.