Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng bước chứng minh các phần a, b, và c như sau:

**a) Chứng minh B là trọng tâm của tam giác AED**

* **Phân tích:** Để chứng minh B là trọng tâm của tam giác AED, ta cần chứng minh B là giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác AED.

* **Chứng minh:**
* Vì H là trung điểm của BC nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC. Theo đề bài, AH = HD nên H là trung điểm của AD. Suy ra, CE là đường trung tuyến của tam giác AED.
* Theo đề bài, BE = BC. Vì H là trung điểm của BC nên \(BC = 2BH\). Suy ra, \(BE = 2BH\).
* Ta có \(BE = BH + HE = 2BH\), suy ra \(HE = BH\). Vậy H là trung điểm của BE.
* Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AH cũng là đường cao. Suy ra \(AH \perp BC\), hay \(AD \perp BC\). Do đó, AD là đường cao của tam giác AED. Vì AD vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên tam giác AED cân tại D.
* Vì tam giác AED cân tại D nên đường trung tuyến DE cũng là đường cao. Do đó, DE \(\perp\) AE.
* Gọi K là giao điểm của AH và DE. Vì tam giác AED cân tại D nên DK là đường trung tuyến, đồng thời là đường cao. Suy ra, K là trung điểm của AE. Vậy DK là đường trung tuyến thứ hai của tam giác AED.
* Vì AH = HD nên H là trung điểm của AD. Do đó, BH là đường trung tuyến của tam giác AED.
* Vậy B là giao điểm của hai đường trung tuyến BH và CE của tam giác AED. Suy ra, B là trọng tâm của tam giác AED.

**b) Chứng minh M là trung điểm của DE**

* **Phân tích:** Ta cần chứng minh M là trung điểm của DE.

* **Chứng minh:**
* Vì B là trọng tâm của tam giác AED (chứng minh ở phần a) nên ta có: \(BH = \frac{1}{3}BE\).
* Ta có \(BE = BC\) (theo đề bài), mà \(BH = \frac{1}{2}BC\) (vì H là trung điểm của BC).
* Suy ra \(BH = \frac{1}{2}BE\). Vậy \(BH = \frac{1}{2} * 2BH = BH\). Điều này không mâu thuẫn.
* Xét tam giác ADE, vì B là trọng tâm nên đường thẳng AB (kéo dài) sẽ đi qua trung điểm của cạnh đối diện DE. Gọi M là giao điểm của AB và DE.
* Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác, M là trung điểm của DE.

**c) Chứng minh ba điểm N, B, D thẳng hàng**

* **Phân tích:** Ta cần chứng minh ba điểm N, B, D thẳng hàng.

* **Chứng minh:**
* Gọi N là trung điểm của AE. Ta cần chứng minh D, B, N thẳng hàng.
* Vì B là trọng tâm của tam giác AED nên đường trung tuyến EN đi qua B. Do đó, ba điểm E, B, N thẳng hàng.
* Ta có M là trung điểm của DE (chứng minh ở phần b). Vậy AM là đường trung tuyến của tam giác ADE.
* Trong tam giác ADE, B là trọng tâm nên B nằm trên đường trung tuyến AM.
* Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AHE và đường thẳng DNB, ta có:
\[
\frac{AD}{DH} \cdot \frac{HB}{BE} \cdot \frac{EN}{NA} = 1
\]
Vì \(AD = 2AH\), \(DH = AH\) nên \(\frac{AD}{DH} = 2\).
Vì \(BE = BC\), \(BH = \frac{1}{2}BC\) nên \(\frac{HB}{BE} = \frac{1}{2}\).
Vì N là trung điểm của AE nên \(\frac{EN}{NA} = 1\).
Vậy \(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 1\).
* Theo định lý Menelaus đảo, ba điểm D, N, B thẳng hàng.

**Kết luận:**

* a) B là trọng tâm của tam giác AED.
* b) M là trung điểm của DE.
* c) Ba điểm N, B, D thẳng hàng.