Để giải phương trình \(\sqrt{-x^2 - 10x - 4} = -\frac{1}{2}x + 5\), đầu tiên chúng ta cần đưa mọi thứ về một phía của phương trình và bình phương cả hai vế để loại bỏ căn.

### Bước 1: Phương trình ban đầu
\[
\sqrt{-x^2 - 10x - 4} = -\frac{1}{2}x + 5
\]

### Bước 2: Bình phương cả hai vế
Khi bình phương, ta có:
\[
-x^2 - 10x - 4 = \left(-\frac{1}{2}x + 5\right)^2
\]

### Bước 3: Tính bên phải
Tính bình phương vế phải:
\[
\left(-\frac{1}{2}x + 5\right)^2 = \frac{1}{4}x^2 - 5x + 25
\]

### Bước 4: Đặt vào phương trình
Thay vào phương trình ta có:
\[
-x^2 - 10x - 4 = \frac{1}{4}x^2 - 5x + 25
\]

### Bước 5: Chuyển tất cả về một phía
Chuyển hết sang bên trái:
\[
-x^2 - 10x - 4 - \frac{1}{4}x^2 + 5x - 25 = 0
\]

### Bước 6: Kết hợp các hệ số
Gom các hạng tử lại:
\[
-\frac{5}{4}x^2 - 5x - 29 = 0
\]

### Bước 7: Nhân với -4 để đơn giản
Nhân tất cả với -4 để cho ra hệ số nguyên:
\[
5x^2 + 20x + 116 = 0
\]

### Bước 8: Tính Discriminant (Delta)
Tính delta của phương trình:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 5 \cdot 116 = 400 - 2320 = -1920
\]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình không có nghiệm thực.

### Kết luận
Tổng các nghiệm của phương trình là \(0\), vì không có nghiệm thực nào.