Để tìm phương trình đường thẳng Δ\DeltaΔ đi qua điểm A(5,1)A(5, 1)A(5,1) và cách điểm B(2,−3)B(2, -3)B(2,−3) một khoảng bằng 555, ta sẽ tiến hành các bước sau:

Xác định vector chỉ phương và công thức khoảng cách:
Thông qua điểm AAA với vector chỉ phương là (m,n)(m, n)(m,n), ta có thể viết phương trình của đường thẳng như sau:
x−5m=y−1n\frac{x - 5}{m} = \frac{y - 1}{n}mx−5​=ny−1​
Đường thẳng Δ\DeltaΔ sẽ có phương trình dạng:
n(x−5)−m(y−1)=0n(x - 5) - m(y - 1) = 0n(x−5)−m(y−1)=0
Tính khoảng cách từ đường thẳng đến điểm B:
Khoảng cách từ một điểm (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​) đến đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 được tính bằng công thức:
d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}d=a2+b2​∣ax0​+by0​+c∣​
Với d=5d = 5d=5 và điểm B(2,−3)B(2, -3)B(2,−3), ta có:

x0=2x_0 = 2x0​=2, y0=−3y_0 = -3y0​=−3
Đổi phương trình đường thẳng về dạng ax+by+c=0ax + by + c = 0ax+by+c=0:
n(x−5)−m(y−1)=0⇒nx−my+(m−5n)=0n(x - 5) - m(y - 1) = 0 \Rightarrow nx - my + (m - 5n) = 0n(x−5)−m(y−1)=0⇒nx−my+(m−5n)=0
Trong đó: a=na = na=n, b=−mb = -mb=−m, c=m−5nc = m - 5nc=m−5n
Thiết lập phương trình:
Từ công thức tính khoảng cách, ta có:
5=∣n⋅2−m⋅(−3)+(m−5n)∣n2+(−m)25 = \frac{|n \cdot 2 - m \cdot (-3) + (m - 5n)|}{\sqrt{n^2 + (-m)^2}}5=n2+(−m)2​∣n⋅2−m⋅(−3)+(m−5n)∣​
Rút gọn lại, ta được:
5n2+m2=∣2n+3m+m−5n∣5 \sqrt{n^2 + m^2} = |2n + 3m + m - 5n|5n2+m2​=∣2n+3m+m−5n∣
5n2+m2=∣(3m−3n)∣5 \sqrt{n^2 + m^2} = |(3m - 3n)|5n2+m2​=∣(3m−3n)∣
5n2+m2=3∣m−n∣5 \sqrt{n^2 + m^2} = 3|m - n|5n2+m2​=3∣m−n∣
Giải phương trình:
Ta sẽ tìm hai giá trị mmm và nnn thoả mãn phương trình trên:
Từ ∣m−n∣|m - n|∣m−n∣:
5n2+m23=∣m−n∣\frac{5\sqrt{n^2 + m^2}}{3} = |m - n|35n2+m2​​=∣m−n∣

Để đơn giản, ta có thể xét các trường hợp cho mmm và nnn, từ đó sẽ có nhiều đường thẳng khác nhau.
Ví dụ cụ thể:
Giả thử n=1n = 1n=1 và m=2m = 2m=2 (đưa ra cách chọn cụ thể):

Phương trình sẽ là:
1(x−5)−2(y−1)=0⇒x−5−2y+2=0⇒x−2y−3=01(x - 5) - 2(y - 1) = 0 \Rightarrow x - 5 - 2y + 2 = 0 \Rightarrow x - 2y - 3 = 01(x−5)−2(y−1)=0⇒x−5−2y+2=0⇒x−2y−3=0
Kiểm tra khoảng cách đến điểm BBB:
d=∣1(2)−2(−3)−3∣12+(−2)2=∣2+6−3∣1+4=55=5d = \frac{|1(2) - 2(-3) - 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 + 6 - 3|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}d=12+(−2)2​∣1(2)−2(−3)−3∣​=1+4​∣2+6−3∣​=5​5​=5​
Nếu kết quả khoảng cách không thỏa thì ta cần điều chỉnh giá trị mmm và nnn của vector chỉ phương cho đến khi thỏa mãn.
Chạy thử:
Chương trình MATLAB/ Python có thể sử dụng để tính toán và tìm các đường thẳng thoả mãn.
Với cách tiếp cận này, ta có thể định hình được phương trình của đường thẳng Δ\DeltaΔ phù hợp như yêu cầu.