Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tóm tắt yêu cầu:** Tính khoảng cách giữa đường thẳng A'B và CM trong hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' với tam giác ABC vuông cân tại A, AA' = AB = a, và M là trung điểm của AB.

2. **Phân tích bài toán:**

   - Vì lăng trụ là lăng trụ đứng, các mặt bên là hình chữ nhật.

   - Tam giác ABC vuông cân tại A nên ta có thể sử dụng hệ tọa độ để tính toán khoảng cách.

   - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có thể được tính bằng công thức liên quan đến tích có hướng và tích vô hướng.

3. **Thiết lập hệ tọa độ:**

   - Chọn gốc tọa độ tại A.

   - Trục Ax trùng với AB, trục Ay trùng với AC, trục Az trùng với AA'.

   - Khi đó, ta có tọa độ các điểm:

     - A(0, 0, 0)

     - B(a, 0, 0)

     - C(0, a, 0)

     - A'(0, 0, a)

     - M(a/2, 0, 0)

4. **Xác định các vectơ:**

   - Vectơ A'B = (a, 0, -a)

   - Vectơ CM = (a/2, -a, 0)

   - Vectơ A'C = (0, a, -a)

5. **Tính tích có hướng của A'B và CM:**

   \[

   \overrightarrow{A'B} = (a, 0, -a) \\

   \overrightarrow{CM} = (\frac{a}{2}, -a, 0) \\

   \overrightarrow{n} = \overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{CM} =

   \begin{vmatrix}

   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

   a & 0 & -a \\

   \frac{a}{2} & -a & 0

   \end{vmatrix}

   = (-a^2, -a^2/2, -a^2)

   \]

6. **Tính khoảng cách giữa A'B và CM:**

   Khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng A'B và CM được tính theo công thức:

   \[

   d = \frac{|\overrightarrow{A'C} \cdot (\overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{CM})|}{|\overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{CM}|}

   \]

   Thay số:

   \[

   \overrightarrow{A'C} = (0, a, -a) \\

   \overrightarrow{n} = (-a^2, -a^2/2, -a^2) \\

   \overrightarrow{A'C} \cdot \overrightarrow{n} = (0)(-a^2) + (a)(-\frac{a^2}{2}) + (-a)(-a^2) = -\frac{a^3}{2} + a^3 = \frac{a^3}{2}

   \]

   \[

   |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-a^2)^2 + (-\frac{a^2}{2})^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{a^4 + \frac{a^4}{4} + a^4} = \sqrt{\frac{9a^4}{4}} = \frac{3a^2}{2}

   \]

   \[

   d = \frac{|\frac{a^3}{2}|}{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a^3}{3a^2} = \frac{a}{3}

   \]

Vậy, khoảng cách giữa A'B và CM là \( \frac{a}{3} \).

**AI Hay chỉ cung cấp thông tin tham khảo và có thể không hoàn toàn chính xác hoặc đầy đủ. Bạn hãy nhớ kiểm tra lại và cân nhắc trước khi áp dụng nhé!**