Để tìm độ dài dây cung AB ngắn nhất trên đường tròn (c)(c)(c) cắt qua điểm M(2;1)M(2; 1)M(2;1), trước tiên chúng ta cần xác định các thông tin cơ bản từ phương trình của đường tròn:

Phương trình đường tròn (c)(c)(c):
(x−1)2+(y−2)2=4(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4(x−1)2+(y−2)2=4
Suy ra:

Tâm O(1;2)O(1; 2)O(1;2)
Bán kính R=4=2R = \sqrt{4} = 2R=4​=2
Tính khoảng cách từ điểm M(2;1)M(2; 1)M(2;1) đến tâm O(1;2)O(1; 2)O(1;2):

Khoảng cách ddd từ MMM đến OOO được tính bằng công thức:
d(M,O)=(2−1)2+(1−2)2=12+(−1)2=1+1=2d(M, O) = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}d(M,O)=(2−1)2+(1−2)2​=12+(−1)2​=1+1​=2​

Tính độ dài dây cung AB:

Dây cung AB ngắn nhất sẽ xảy ra khi đường thẳng ddd đi qua điểm OOO. Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng công thức độ dài của dây cung:

Độ dài dây cung ABABAB được tính theo công thức:
L=2Rsin⁡(θ2)L = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)L=2Rsin(2θ​)
trong đó θ\thetaθ là góc giữa hai bán kính OAOAOA và OBOBOB.

Khi ddd đi qua OOO, nghĩa là OMOMOM là đường kính, và dạng hình học vừa nêu chưa thể tìm được giá trị của θ\thetaθ từ điểm MMM. Thay vào đó, ta có thể dùng khoảng cách để tìm ra dây cung AB.

Công thức cho độ dài dây cung khi gặp điểm bên ngoài:

Độ dài dây cung AB sẽ được tìm bằng cách sử dụng định lý Pythagore với bán kính RRR và khoảng cách từ MMM đến tâm của đường tròn.
AB=2R2−d2AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}AB=2R2−d2​
Với:
R=2R = 2R=2
d=2d = \sqrt{2}d=2​
Áp dụng vào công thức:
AB=222−(2)2=24−2=22AB = 2\sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}AB=222−(2​)2​=24−2​=22​
Như vậy, độ dài dây cung ABABAB ngắn nhất bằng:
22\boxed{2\sqrt{2}}22​​