Hàm số y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3y=x2+2x−3 có dạng của một hàm bậc 2, do đó đồ thị của nó là một parabol.

1. Phân tích hàm số:
Để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số, chúng ta thực hiện các bước sau:

- Tìm đỉnh của parabol:
Một hàm số bậc 2 có dạng y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c có đỉnh tại x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​.

Với a=1a = 1a=1 và b=2b = 2b=2:
xđỉnh=−22×1=−1x_{\text{đỉnh}} = -\frac{2}{2 \times 1} = -1xđỉnh​=−2×12​=−1
- Tính giá trị tại đỉnh:
Thay x=−1x = -1x=−1 vào hàm số để tìm tọa độ đỉnh:
y=(−1)2+2(−1)−3=1−2−3=−4y = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4y=(−1)2+2(−1)−3=1−2−3=−4
Vậy đỉnh của parabol PPP là điểm (−1,−4)(-1, -4)(−1,−4).

2. Vẽ đồ thị:
Đồng thời, chúng ta có thể tìm các điểm cắt trục y và trục x:

- Cắt trục y:
Để tìm điểm cắt trục y, thay x=0x = 0x=0:
y=02+2×0−3=−3y = 0^2 + 2 \times 0 - 3 = -3y=02+2×0−3=−3
Điểm cắt trục y là (0,−3)(0, -3)(0,−3).

- Cắt trục x:
Để tìm điểm cắt trục x, giải phương trình y=0y = 0y=0:
x2+2x−3=0x^2 + 2x - 3 = 0x2+2x−3=0
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:
x=−b±b2−4ac2a=−2±22−4⋅1⋅(−3)2⋅1=−2±4+122=−2±162=−2±42x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}x=2a−b±b2−4ac​​=2⋅1−2±22−4⋅1⋅(−3)​​=2−2±4+12​​=2−2±16​​=2−2±4​

Có hai nghiệm:
x1=22=1,x2=−62=−3x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3x1​=22​=1,x2​=2−6​=−3
Điểm cắt trục x là (1,0)(1, 0)(1,0) và (−3,0)(-3, 0)(−3,0).

3. Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến:
Tính đạo hàm của hàm số để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến:
y′=2x+2y' = 2x + 2y′=2x+2
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị:
2x+2=0  ⟹  x=−12x + 2 = 0 \implies x = -12x+2=0⟹x=−1
Xét dấu của đạo hàm:

Khi x<−1x < -1x<−1: y′<0y' < 0y′<0 ⇒ hàm số nghịch biến.
Khi x>−1x > -1x>−1: y′>0y' > 0y′>0 ⇒ hàm số đồng biến.
4. Kết luận:
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞,−1)(-\infty, -1)(−∞,−1).
Hàm số đồng biến trên khoảng (−1,+∞)(-1, +\infty)(−1,+∞).
Với các thông số trên, bạn có thể vẽ đồ thị của hàm số y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3y=x2+2x−3 với đỉnh tại (−1,−4)(-1, -4)(−1,−4), cắt trục x tại (−3,0)(-3, 0)(−3,0) và (1,0)(1, 0)(1,0), và trục y tại (0,−3)(0, -3)(0,−3).