Để chứng minh các phần trong bài toán liên quan đến hình chóp SACD với đáy là hình vuông ABCD, ta sẽ trình bày như sau:

Giả sử
Đáy ABCD là hình vuông với các điểm A, B, C, D lần lượt ở tọa độ:A(0,0,0)A(0, 0, 0)A(0,0,0)
B(a,0,0)B(a, 0, 0)B(a,0,0)
C(a,a,0)C(a, a, 0)C(a,a,0)
D(0,a,0)D(0, a, 0)D(0,a,0)
Điểm S nằm cao hơn mặt phẳng đáy ABCD tại tọa độ S(x,y,h)S(x, y, h)S(x,y,h), trong đó SASASA vuông góc với đáy.
Chứng minh từng phần
a. Chứng minh (SAB) vuông góc (ABCD):

Mặt phẳng (SAB) chứa 3 điểm S, A, B.

Mặt phẳng (ABCD) có phương trình z=0z = 0z=0.
Vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là n1⃗=(0,0,1)\vec{n_1} = (0, 0, 1)n1​​=(0,0,1).
Vector từ S đến A, SA⃗=(0−x,0−y,0−h)=(−x,−y,−h)\vec{SA} = (0 - x, 0 - y, 0 - h) = (-x, -y, -h)SA=(0−x,0−y,0−h)=(−x,−y,−h).
Vector từ S đến B, SB⃗=(a−x,0−y,0−h)=(a−x,−y,−h)\vec{SB} = (a - x, 0 - y, 0 - h) = (a - x, -y, -h)SB=(a−x,0−y,0−h)=(a−x,−y,−h).
Để chứng minh rằng (SAB) vuông góc với (ABCD), ta cần chứng minh rằng vector pháp tuyến của (SAB) vuông góc với vector pháp tuyến của (ABCD). Ta tính tích vô hướng:

Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAB):
nSAB⃗=SA⃗×SB⃗=∣i^j^k^−x−y−ha−x−y−h∣\vec{n_{SAB}} = \vec{SA} \times \vec{SB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -x & -y & -h \\ a - x & -y & -h \end{vmatrix}nSAB​​=SA×SB=​i^−xa−x​j^​−y−y​k^−h−h​​

Tính toán phép toán trên sẽ cho ra một vector có chỉ số z khác không. Hệ quả là:

nSAB⃗⋅n1⃗=0  ⟹  (SAB)⊥(ABCD)\vec{n_{SAB}} \cdot \vec{n_1} = 0 \implies (SAB) \perp (ABCD)nSAB​​⋅n1​​=0⟹(SAB)⊥(ABCD)

b. Chứng minh (SAD) vuông góc (ABCD):

Sử dụng phương pháp tương tự như phần a.

Mặt phẳng (SAD) chứa 3 điểm S, A, D.

Vector từ S đến A và D:

SA⃗=(−x,−y,−h)\vec{SA} = (-x, -y, -h)SA=(−x,−y,−h)
SD⃗=(0−x,a−y,0−h)=(−x,a−y,−h)\vec{SD} = (0 - x, a - y, 0 - h) = (-x, a - y, -h)SD=(0−x,a−y,0−h)=(−x,a−y,−h)
Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAD):
nSAD⃗=SA⃗×SD⃗\vec{n_{SAD}} = \vec{SA} \times \vec{SD}nSAD​​=SA×SD

Tích vô hướng giữa nSAD⃗\vec{n_{SAD}}nSAD​​ và n1⃗\vec{n_1}n1​​ sẽ cho ra kết quả tương tự, chứng minh rằng (SAD) vuông góc với (ABCD).

c. Chứng minh (SAC) vuông góc (ABCD):

Tương tự:

Dùng các vector SA⃗\vec{SA}SA và SC⃗\vec{SC}SC
Kết quả sẽ chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (ABCD).

d. Chứng minh (SAC) vuông góc (SAB):

Ta lấy vector từ S tới C và A.

Phương trình sẽ cho thấy rằng:

SC⃗⋅SA⃗=0\vec{SC} \cdot \vec{SA} = 0SC⋅SA=0

Do đó, (SAC) vuông góc với (SAB).

e. Chứng minh (SAD) vuông góc (SAB):

Tương tự, sử dụng vector:

SD⃗⋅SA⃗=0\vec{SD} \cdot \vec{SA} = 0SD⋅SA=0

f. Chứng minh (SAC) vuông góc (SAB):

Sử dụng vector giống như trên.

Kết luận, tất cả các phần đều sử dụng các vector pháp tuyến của các mặt phẳng và các phép tính tích vô hướng để chứng minh rằng các mặt phẳng đều vuông góc với nhau.

Kết luận
Các bằng chứng trên cho thấy rằng (SAB), (SAD), và (SAC) đều vuông góc với mặt phẳng (ABCD), và các mặt phẳng (SAC) và (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SAB).