Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán liên quan đến tam giác ABC nội tiếp đường tròn O với các tiếp tuyến tại B và C, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

a) Chứng minh ΔMAH ~ ΔMOD
Để chứng minh rằng ΔMAH ~ ΔMOD, ta cần chứng minh rằng các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau.

Xét các góc:

Góc ∠MAH: Vì AM là một đường thẳng cắt đường tròn O tại A, nên theo định lý về tiếp tuyến và góc ở điểm ngoài, ta có:
∠MAH=∠MOC\angle MAH = \angle MOC∠MAH=∠MOC
trong đó O là tâm của đường tròn.
Góc ∠MDO: Vì MD là đường thẳng đi qua M và D nằm trên đường tròn O, nên ta cũng có:
∠MOD=∠MAB\angle MOD = \angle MAB∠MOD=∠MAB
Góc chung:

Cả hai tam giác ΔMAH và ΔMOD đều có góc MHA là góc chung.
Như vậy, ta có:

∠MAH = ∠MOC
∠MHA = ∠MOD
Từ đó, theo tiêu chí góc-góc-góc (G.G.G), ta có:
ΔMAH∼ΔMOD\Delta MAH \sim \Delta MODΔMAH∼ΔMOD

b) Chứng minh MAB = HAC (góc)
Để chứng minh rằng ∠MAB = ∠HAC, ta sẽ dựa vào các tính chất của các tiếp tuyến và các giao điểm.

Xét góc ∠MAB:

Vì MB (tiếp tuyến tại B) và MC (tiếp tuyến tại C) là các tiếp tuyến của đường tròn O, do đó:
∠MAB=∠OBA\angle MAB = \angle OBA∠MAB=∠OBA
Cũng tương tự, ta có:
∠MAB=∠OCA\angle MAB = \angle OCA∠MAB=∠OCA
Từ định lý tiếp tuyến, nên:
∠MAB=∠OBC\angle MAB = \angle OBC∠MAB=∠OBC
Xét góc ∠HAC:

H là giao điểm của đường thẳng OM và BC. Khi đó, theo định lý góc bù, ta có:
∠HAC=∠OAC\angle HAC = \angle OAC∠HAC=∠OAC
Kết luận:

Từ các chứng minh trên, chúng ta thấy rằng:
∠MAB=∠OBC\angle MAB = \angle OBC∠MAB=∠OBC
và
∠HAC=∠OAC\angle HAC = \angle OAC∠HAC=∠OAC
Do đó:
MAB=HACMAB = HACMAB=HAC
Kết luận
a) ΔMAH ~ ΔMOD đã được chứng minh.
b) MAB = HAC (góc) đã được chứng minh.
Vậy bài toán đã hoàn thành và các yêu cầu chứng minh được xác minh đúng.
 

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán liên quan đến tam giác ABC nội tiếp đường tròn O với các tiếp tuyến tại B và C, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

a) Chứng minh ΔMAH ~ ΔMOD
Để chứng minh rằng ΔMAH ~ ΔMOD, ta cần chứng minh rằng các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau.

Xét các góc:

Góc ∠MAH: Vì AM là một đường thẳng cắt đường tròn O tại A, nên theo định lý về tiếp tuyến và góc ở điểm ngoài, ta có:
∠MAH=∠MOC\angle MAH = \angle MOC∠MAH=∠MOC
trong đó O là tâm của đường tròn.
Góc ∠MDO: Vì MD là đường thẳng đi qua M và D nằm trên đường tròn O, nên ta cũng có:
∠MOD=∠MAB\angle MOD = \angle MAB∠MOD=∠MAB
Góc chung:

Cả hai tam giác ΔMAH và ΔMOD đều có góc MHA là góc chung.
Như vậy, ta có:

∠MAH = ∠MOC
∠MHA = ∠MOD
Từ đó, theo tiêu chí góc-góc-góc (G.G.G), ta có:
ΔMAH∼ΔMOD\Delta MAH \sim \Delta MODΔMAH∼ΔMOD

b) Chứng minh MAB = HAC (góc)
Để chứng minh rằng ∠MAB = ∠HAC, ta sẽ dựa vào các tính chất của các tiếp tuyến và các giao điểm.

Xét góc ∠MAB:

Vì MB (tiếp tuyến tại B) và MC (tiếp tuyến tại C) là các tiếp tuyến của đường tròn O, do đó:
∠MAB=∠OBA\angle MAB = \angle OBA∠MAB=∠OBA
Cũng tương tự, ta có:
∠MAB=∠OCA\angle MAB = \angle OCA∠MAB=∠OCA
Từ định lý tiếp tuyến, nên:
∠MAB=∠OBC\angle MAB = \angle OBC∠MAB=∠OBC
Xét góc ∠HAC:

H là giao điểm của đường thẳng OM và BC. Khi đó, theo định lý góc bù, ta có:
∠HAC=∠OAC\angle HAC = \angle OAC∠HAC=∠OAC
Kết luận:

Từ các chứng minh trên, chúng ta thấy rằng:
∠MAB=∠OBC\angle MAB = \angle OBC∠MAB=∠OBC
và
∠HAC=∠OAC\angle HAC = \angle OAC∠HAC=∠OAC
Do đó:
MAB=HACMAB = HACMAB=HAC
Kết luận
a) ΔMAH ~ ΔMOD đã được chứng minh.
b) MAB = HAC (góc) đã được chứng minh.
Vậy bài toán đã hoàn thành và các yêu cầu chứng minh được xác minh đúng.