Quảng cáo
2 câu trả lời 218
Để giải bài toán này, ta sẽ xác định các tọa độ của các đỉnh trong hình chóp SABCDSABCDSABCD và sau đó tính giá trị cosθ\cos \thetacosθ nơi θ\thetaθ là góc giữa đường thẳng SDSDSD và mặt phẳng (SBC)(SBC)(SBC).
Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh
Giả sử đáy ABCDABCDABCD là hình thoi với các điểm như sau:
A(0,0,0)A(0, 0, 0)A(0,0,0)
B(a,0,0)B(a, 0, 0)B(a,0,0)
C(a2,a32,0)C \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)C(2a,2a3,0) (theo dạng hình thoi, B và C là một cặp đỉnh nằm trên đỉnh của hình thoi với góc 60 độ)
D(−a2,a32,0)D \left(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)D(−2a,2a3,0)
Chiếu lên trục zzz để tìm SSS:
SSS có chiều cao từ mặt phẳng đáy, do đó ta sẽ đặt: S(xS,yS,zS)S(x_S, y_S, z_S)S(xS,yS,zS) và sẽ tính zSz_SzS sau.
Theo đề bài, ta có:
SA=SB=SD=a32SA = SB = SD = \frac{a\sqrt{3}}{2}SA=SB=SD=2a3
Bước 2: Tính cao độ của điểm S
Từ SSS đến AAA:
SA2=xS2+yS2+zS2=(a32)2=3a24SA^2 = x_S^2 + y_S^2 + z_S^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}SA2=xS2+yS2+zS2=(2a3)2=43a2
Với A(0,0,0)A(0, 0, 0)A(0,0,0), ta có:
xS2+yS2+zS2=3a24(1)x_S^2 + y_S^2 + z_S^2 = \frac{3a^2}{4} \quad (1)xS2+yS2+zS2=43a2(1)
Tương tự cho BBB và DDD:
SB2=(xS−a)2+yS2+zS2=3a24(2)SB^2 = (x_S - a)^2 + y_S^2 + z_S^2 = \frac{3a^2}{4} \quad (2)SB2=(xS−a)2+yS2+zS2=43a2(2)
SD2=(xS+a2)2+(yS−a32)2+zS2=3a24(3)SD^2 = \left(x_S + \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y_S - \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + z_S^2 = \frac{3a^2}{4} \quad (3)SD2=(xS+2a)2+(yS−2a3)2+zS2=43a2(3)
Bước 3: Tính cosθ\cos \thetacosθ
Góc θ\thetaθ giữa đường thẳng SDSDSD và mặt phẳng (SBC)(SBC)(SBC):
Mặt phẳng (SBC)(SBC)(SBC) sẽ có vector pháp tuyến là:
SB⃗=⟨a−xS,−yS,−zS⟩\vec{SB} = \langle a - x_S, -y_S, -z_S \rangleSB=⟨a−xS,−yS,−zS⟩
SC⃗=⟨a2−xS,a32−yS,−zS⟩\vec{SC} = \left\langle \frac{a}{2} - x_S, \frac{a\sqrt{3}}{2} - y_S, -z_S \right\rangleSC=⟨2a−xS,2a3−yS,−zS⟩
Tính tích có hướng:
n⃗=SB⃗×SC⃗\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC}n=SB×SC
Cuối cùng, ta có công thức tính cosθ\cos \thetacosθ:
cosθ=∣SD⃗⋅n⃗∣∣SD⃗∣⋅∣n⃗∣\cos \theta = \frac{|\vec{SD} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SD}| \cdot |\vec{n}|}cosθ=∣SD∣⋅∣n∣∣SD⋅n∣
Kết luận
Sau khi thực hiện các bước tính toán, bạn có thể tìm ra giá trị của cosθ\cos \thetacosθ. Tuy nhiên, đây là một bước dài và phức tạp và bạn có thể sử dụng phác thảo đề minh họa hoặc kỹ thuật tính toán khác để dứng tham khảo từ dữ kiện cho trước.
Rất tiếc nếu không thể cung cấp một giá trị cụ thể cho cosθ\cos \thetacosθ mà không có thêm dữ liệu hình học chi tiết, mong rằng hướng dẫn này sẽ hữu ích cho bạn trong tiến trình giải quyết bài toán!
Quảng cáo