Dưới đây là giải từng phần cho bài toán liên quan đến tam giác ABC với các đỉnh đã cho:

a) Viết phương trình tổng quát cạnh AB.
Tọa độ đỉnh A: A(−2,−1)A(-2, -1)A(−2,−1)
Tọa độ đỉnh B: B(4,−2)B(4, -2)B(4,−2)
Bước 1: Tính hệ số góc của đường thẳng AB

Công thức tính độ dốc (hệ số góc) của đường thẳng đi qua hai điểm (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​) và (x2,y2)(x_2, y_2)(x2​,y2​):

k=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}k=x2​−x1​y2​−y1​​

Áp dụng vào A và B:

k=−2−(−1)4−(−2)=−16k = \frac{-2 - (-1)}{4 - (-2)} = \frac{-1}{6}k=4−(−2)−2−(−1)​=6−1​

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:

y−y1=k(x−x1)y - y_1 = k(x - x_1)y−y1​=k(x−x1​)

Áp dụng độ dốc và điểm A(-2, -1):

y+1=−16(x+2)y + 1 = -\frac{1}{6}(x + 2)y+1=−61​(x+2)

Rút gọn phương trình:

y+1=−16x−13  ⟹  y=−16x−43y + 1 = -\frac{1}{6}x - \frac{1}{3} \implies y = -\frac{1}{6}x - \frac{4}{3}y+1=−61​x−31​⟹y=−61​x−34​

Chuyển đổi sang dạng tổng quát:

x+6y+8=0x + 6y + 8 = 0x+6y+8=0

b) Viết phương trình tham số của đường cao AH.
Bước 1: Tính độ dốc của cạnh BC

Tọa độ B(4, -2) và C(1, 3):

kBC=3−(−2)1−4=5−3=−53k_{BC} = \frac{3 - (-2)}{1 - 4} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}kBC​=1−43−(−2)​=−35​=−35​

Bước 2: Tính độ dốc của đường cao AH

Đường cao AH sẽ vuông góc với BC, do đó:

kAH=35k_{AH} = \frac{3}{5}kAH​=53​

Bước 3: Tìm phương trình tham số

Ta cần phương trình của AH đi qua A(-2, -1):

y+1=35(x+2)y + 1 = \frac{3}{5}(x + 2)y+1=53​(x+2)

Rút gọn:

y+1=35x+65  ⟹  y=35x+15y + 1 = \frac{3}{5}x + \frac{6}{5} \implies y = \frac{3}{5}x + \frac{1}{5}y+1=53​x+56​⟹y=53​x+51​

c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng đi qua A và song song BC
Đường thẳng song song với BC cũng có cùng độ dốc kBC=−53k_{BC} = -\frac{5}{3}kBC​=−35​.

Phương trình đi qua A(-2, -1):

y+1=−53(x+2)y + 1 = -\frac{5}{3}(x + 2)y+1=−35​(x+2)

Rút gọn:

y+1=−53x−103  ⟹  y=−53x−133y + 1 = -\frac{5}{3}x - \frac{10}{3} \implies y = -\frac{5}{3}x - \frac{13}{3}y+1=−35​x−310​⟹y=−35​x−313​

Chuyển sang dạng tổng quát:

5x+3y+13=05x + 3y + 13 = 05x+3y+13=0

d) Viết phương trình tổng quát đường trung tuyến AM.
Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm M của BC

Đỉnh B(4, -2) và C(1, 3):

M=(xB+xC2,yB+yC2)=(4+12,−2+32)=(52,12)M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{4 + 1}{2}, \frac{-2 + 3}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{1}{2} \right)M=(2xB​+xC​​,2yB​+yC​​)=(24+1​,2−2+3​)=(25​,21​)

Bước 2: Tính độ dốc của AM

Tọa độ A(-2, -1) và M(52,12\frac{5}{2}, \frac{1}{2}25​,21​):

kAM=12−(−1)52−(−2)=1/2+152+2=3/29/2=13k_{AM} = \frac{\frac{1}{2} - (-1)}{\frac{5}{2} - (-2)} = \frac{1/2 + 1}{\frac{5}{2} + 2} = \frac{3/2}{9/2} = \frac{1}{3}kAM​=25​−(−2)21​−(−1)​=25​+21/2+1​=9/23/2​=31​

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AM

Phương trình đi qua A(-2, -1):

y+1=13(x+2)y + 1 = \frac{1}{3}(x + 2)y+1=31​(x+2)

Rút gọn:

y+1=13x+23  ⟹  y=13x−13y + 1 = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \implies y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}y+1=31​x+32​⟹y=31​x−31​

Chuyển sang dạng tổng quát:

x−3y−1=0x - 3y - 1 = 0x−3y−1=0

e) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC.
Bước 1: Tính phương trình của đường cao AH đã tìm ở phần b.

Phương trình AH là y=35x+15y = \frac{3}{5}x + \frac{1}{5}y=53​x+51​.

Bước 2: Tìm phương trình của đường cao từ B

Đường thẳng từ B đi qua A và có độ dốc là 35\frac{3}{5}53​ thì độ dốc của đường cao từ B sẽ là −45-\frac{4}{5}−54​ (vuông góc với AB).

Phương trình đường thẳng từ B:

y+2=−45(x−4)y + 2 = -\frac{4}{5}(x - 4)y+2=−54​(x−4)

Rút gọn:

y+2=−45x+165  ⟹  y=−45x+65y + 2 = -\frac{4}{5}x + \frac{16}{5} \implies y = -\frac{4}{5}x + \frac{6}{5}y+2=−54​x+516​⟹y=−54​x+56​

Bước 3: Tìm giao điểm giữa hai đường cao AH và đường cao từ B (tìm trực tâm)

Giải hệ phương trình:

y=35x+15y = \frac{3}{5}x + \frac{1}{5}y=53​x+51​
y=−45x+65y = -\frac{4}{5}x + \frac{6}{5}y=−54​x+56​
Bằng cách đặt:

35x+15=−45x+65\frac{3}{5}x + \frac{1}{5} = -\frac{4}{5}x + \frac{6}{5}53​x+51​=−54​x+56​

Giải cho xxx:

35x+45x=6/5−1/5  ⟹  75x=55  ⟹  x=57\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}x = 6/5 - 1/5 \implies \frac{7}{5}x = \frac{5}{5} \implies x = \frac{5}{7}53​x+54​x=6/5−1/5⟹57​x=55​⟹x=75​

Thay vào yyy:

y=35⋅57+15=37+15y = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} + \frac{1}{5} = \frac{3}{7} + \frac{1}{5}y=53​⋅75​+51​=73​+51​

Chuyển về cùng mẫu:

Tính: y=1535+735=2235y = \frac{15}{35} + \frac{7}{35} = \frac{22}{35}y=3515​+357​=3522​
Vậy tọa độ trực tâm H của tam giác ABC là:

H(57,2235)H\left(\frac{5}{7}, \frac{22}{35}\right)H(75​,3522​)

Kết quả tổng hợp:
a) Cạnh AB: x+6y+8=0x + 6y + 8 = 0x+6y+8=0

b) Đường cao AH: y=35x+15y = \frac{3}{5}x + \frac{1}{5}y=53​x+51​

c) Đường thẳng song song với BC qua A: 5x+3y+13=05x + 3y + 13 = 05x+3y+13=0

d) Đường trung tuyến AM: x−3y−1=0x - 3y - 1 = 0x−3y−1=0

e) Tọa độ trực tâm: H(57,2235)H\left(\frac{5}{7}, \frac{22}{35}\right)H(75​,3522​)

Hy vọng giúp ích cho bạn!