a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C)
Phương trình đã cho là:

x2+y2+2x−10y+1=0x^2 + y^2 + 2x - 10y + 1 = 0x2+y2+2x−10y+1=0

Để đưa phương trình này về dạng tổng quát:

Nhóm các hạng tử liên quan đến xxx và yyy:
(x2+2x)+(y2−10y)=−1(x^2 + 2x) + (y^2 - 10y) = -1(x2+2x)+(y2−10y)=−1

Hoàn thành bình phương cho phần xxx và yyy:
Phần xxx:
x2+2x=(x+1)2−1x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1x2+2x=(x+1)2−1

Phần yyy:
y2−10y=(y−5)2−25y^2 - 10y = (y-5)^2 - 25y2−10y=(y−5)2−25

Thay các kết quả trên vào phương trình:
((x+1)2−1)+((y−5)2−25)=−1((x+1)^2 - 1) + ((y-5)^2 - 25) = -1((x+1)2−1)+((y−5)2−25)=−1

Sắp xếp lại:

(x+1)2+(y−5)2−26=−1(x+1)^2 + (y-5)^2 - 26 = -1(x+1)2+(y−5)2−26=−1

(x+1)2+(y−5)2=25(x+1)^2 + (y-5)^2 = 25(x+1)2+(y−5)2=25

Tọa độ tâm và bán kính
Tọa độ tâm: (−1,5)(-1, 5)(−1,5)
Bán kính R=25=5R = \sqrt{25} = 5R=25​=5
Tính chu vi và diện tích của (C)
Chu vi: C=2πR=2π⋅5=10πC = 2\pi R = 2\pi \cdot 5 = 10\piC=2πR=2π⋅5=10π
Diện tích: S=πR2=π⋅25=25πS = \pi R^2 = \pi \cdot 25 = 25\piS=πR2=π⋅25=25π
b) Chứng minh điểm M thuộc đường tròn (C) và viết phương trình tiếp tuyến
Xác minh điểm M: M(3,2)M(3, 2)M(3,2)

Thay tọa độ của M vào phương trình đường tròn:

(3+1)2+(2−5)2=25(3+1)^2 + (2-5)^2 = 25(3+1)2+(2−5)2=25

42+(−3)2=16+9=254^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 2542+(−3)2=16+9=25

Vì 25=2525 = 2525=25 nên điểm M thuộc đường tròn (C).

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M
Từ tâm (−1,5)(-1, 5)(−1,5) đến điểm M(3,2)M(3, 2)M(3,2):

Độ dốc y2−y1x2−x1=2−53−(−1)=−34\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 5}{3 - (-1)} = \frac{-3}{4}x2​−x1​y2​−y1​​=3−(−1)2−5​=4−3​
Vậy độ dốc của tiếp tuyến là nghịch đảo và đảo dấu:

d=43d = \frac{4}{3}d=34​

Tọa độ tiếp tuyến tại M(3,2)M(3, 2)M(3,2):

Tìm phương trình tiếp tuyến:

y−2=43(x−3)y - 2 = \frac{4}{3}(x - 3)y−2=34​(x−3)

Rút gọn:

y−2=43x−4  ⟹  y=43x−2y - 2 = \frac{4}{3}x - 4 \implies y = \frac{4}{3}x - 2y−2=34​x−4⟹y=34​x−2

Hoặc viết lại:

4x−3y−6=04x - 3y - 6 = 04x−3y−6=0

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song đường thẳng d:4x+3y+14=0d: 4x + 3y + 14 = 0d:4x+3y+14=0
Đường thẳng có dạng Ax+By+C=0Ax + By + C = 0Ax+By+C=0:

A=4,B=3A = 4, B = 3A=4,B=3
Do đó, tiếp tuyến cũng có dạng:

4x+3y+D=04x + 3y + D = 04x+3y+D=0

Yêu cầu phương trình tiếp tuyến cắt đường tròn. Ta cần:

Khoảng cách từ tâm (−1,5)(-1, 5)(−1,5) đến đường thẳng này bằng bán kính 5.
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

∣4(−1)+3(5)+D∣42+32=5\frac{|4(-1) + 3(5) + D|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 542+32​∣4(−1)+3(5)+D∣​=5

Tính khoảng cách:

∣−4+15+D∣5=5  ⟹  ∣D+11∣=25\frac{| -4 + 15 + D |}{5} = 5 \implies |D + 11| = 255∣−4+15+D∣​=5⟹∣D+11∣=25

Vậy D+11=25D + 11 = 25D+11=25 hoặc D+11=−25D + 11 = -25D+11=−25,

Trường hợp 1: D=14D = 14D=14 -> 4x+3y+14=04x + 3y + 14 = 04x+3y+14=0 (không phải tiếp tuyến).
Trường hợp 2: D=−36D = -36D=−36 -> phương trình tiếp tuyến:
4x+3y−36=04x + 3y - 36 = 04x+3y−36=0

d) Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ddd
Đường thẳng d:4x+3y+14=0d: 4x + 3y + 14 = 0d:4x+3y+14=0 có độ dốc là −43-\frac{4}{3}−34​, do đó độ dốc của tiếp tuyến sẽ là 34\frac{3}{4}43​.

Giống như ở câu b), chúng ta có:

y−2=34(x−3)  ⟹  y=34x+14y - 2 = \frac{3}{4}(x - 3) \implies y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}y−2=43​(x−3)⟹y=43​x+41​

Hoặc:

3x−4y+1=03x - 4y + 1 = 03x−4y+1=0

e) Tìm giá trị tham số mmm
Phương trình đường thẳng:

6x−8y+m=0  ⟹  y=34x+m86x - 8y + m = 0 \implies y = \frac{3}{4}x + \frac{m}{8}6x−8y+m=0⟹y=43​x+8m​

Sự giao nhau giữa đường thẳng và đường tròn sẽ có ba trường hợp:

Không cắt nhau
Cắt nhau tại một điểm (tiếp xúc)
Cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Ta tìm tọa độ giao điểm bằng cách thay yyy vào phương trình đường tròn:

(x+1)2+(34x+m8−5)2=25(x+1)^2 + \left(\frac{3}{4}x + \frac{m}{8} - 5\right)^2 = 25(x+1)2+(43​x+8m​−5)2=25

Giải phương trình bậc hai tìm điều kiện cho mmm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, dựa vào Định lý Viet hoặc dựa vào điều kiện của hệ số.

Cuối cùng, sau khi giải cho m, ta sẽ tìm được các giá trị của m để có 2 điểm giao nhau phân biệt:

Tính toán qua bất phương trình hoặc giải hệ phương trình bậc hai, đưa đến hệ số lớn hơn 0 để tìm m.
Kết thúc bài toán với các phần giải thích, mong rằng giúp bạn hiểu hơn về hình học và đại số trong tọa độ!