Để tìm các giá trị của mmm sao cho bất đẳng thức

−x2+2(m+1)x−m2+m<0-x^2 + 2(m+1)x - m^2 + m < 0−x2+2(m+1)x−m2+m<0

có nghĩa là phương trình bậc hai

−x2+2(m+1)x−(m2−m)=0-x^2 + 2(m+1)x - (m^2 - m) = 0−x2+2(m+1)x−(m2−m)=0

không có nghiệm thực. Để bất đẳng thức này luôn nhỏ hơn 0 với mọi xxx thuộc R\mathbb{R}R, ta cần điều kiện là hệ số của x2x^2x2 phải âm và delta của phương trình phải nhỏ hơn 0.

Hệ số của x2x^2x2: −1<0-1 < 0−1<0, điều này luôn đúng.
Tính delta Δ\DeltaΔ của phương trình:
Δ=b2−4ac=[2(m+1)]2−4(−1)(−m2+m)\Delta = b^2 - 4ac = [2(m+1)]^2 - 4(-1)(-m^2 + m)Δ=b2−4ac=[2(m+1)]2−4(−1)(−m2+m)
=4(m+1)2−4(m2−m)= 4(m+1)^2 - 4(m^2 - m)=4(m+1)2−4(m2−m)
=4(m2+2m+1−m2+m)= 4(m^2 + 2m + 1 - m^2 + m)=4(m2+2m+1−m2+m)
=4(3m+1)= 4(3m + 1)=4(3m+1)

Bất phương trình cần giải là:

4(3m+1)<04(3m + 1) < 04(3m+1)<0

Chia cả hai vế cho 4:

3m+1<03m + 1 < 03m+1<0

Giải bất phương trình này ta được:

3m<−1  ⟹  m<−133m < -1 \implies m < -\frac{1}{3}3m<−1⟹m<−31​

Vậy giá trị của mmm sao cho bất đẳng thức

−x2+2(m+1)x−m2+m<0-x^2 + 2(m+1)x - m^2 + m < 0−x2+2(m+1)x−m2+m<0

đúng với mọi x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R là

m<−13.m < -\frac{1}{3}.m<−31​.