Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có điều kiện:

a2022+b2022=a2020+b2020a^{2022} + b^{2022} = a^{2020} + b^{2020}a2022+b2022=a2020+b2020

Chia cả hai vế cho a2020a^{2020}a2020 (do aaa dương, ta có thể chia) ta có:

a2022a2020+b2022a2020=a2020a2020+b2020a2020\frac{a^{2022}}{a^{2020}} + \frac{b^{2022}}{a^{2020}} = \frac{a^{2020}}{a^{2020}} + \frac{b^{2020}}{a^{2020}}a2020a2022+a2020b2022=a2020a2020+a2020b2020

Khi đó, ta có thể viết lại:

a2+(ba)2022=1+(ba)2020a^2 + \left(\frac{b}{a}\right)^{2022} = 1 + \left(\frac{b}{a}\right)^{2020}a2+(ab)2022=1+(ab)2020

Gọi x=bax = \frac{b}{a}x=ab, với x>0x > 0x>0 ta có phương trình trở thành:

a2+x2022=1+x2020a^2 + x^{2022} = 1 + x^{2020}a2+x2022=1+x2020

Sắp xếp lại ta có:

a2=1+x2020−x2022a^2 = 1 + x^{2020} - x^{2022}a2=1+x2020−x2022

Vì vậy:

a2=1+x2020(1−x2)a^2 = 1 + x^{2020}(1 - x^2)a2=1+x2020(1−x2)

Khám Phá Tối Đa
Ta muốn tìm giá trị lớn nhất của a2+b2a^2 + b^2a2+b2:
a2+b2=a2+x2a2=a2(1+x2)=a2(1+(ba)2)a^2 + b^2 = a^2 + x^2 a^2 = a^2(1 + x^2) = a^2\left(1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2\right)a2+b2=a2+x2a2=a2(1+x2)=a2(1+(ab)2)

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

a2022+b2022≥(a+b)2022a^{2022} + b^{2022} \geq \left( a + b \right)^{2022}a2022+b2022≥(a+b)2022

Từ điều kiện a2022+b2022=a2020+b2020a^{2022} + b^{2022} = a^{2020} + b^{2020}a2022+b2022=a2020+b2020, suy ra:

(a+b)2022≤2⋅(a2020+b2020) ⟹ (a+b)2022≤2⋅(a2+b2)\left( a + b \right)^{2022} \leq 2 \cdot (a^{2020} + b^{2020}) \implies (a + b)^{2022} \leq 2 \cdot (a^2 + b^2)(a+b)2022≤2⋅(a2020+b2020)⟹(a+b)2022≤2⋅(a2+b2)

Tìm Max của a2+b2a^2 + b^2a2+b2
Kết hợp lại các đẳng thức:
S=a2+b2≥2a2b2=2abS = a^2 + b^2 \geq 2 \sqrt{a^2 b^2} = 2abS=a2+b2≥2a2b2=2ab

Từ bất đẳng thức a2+b2≥2aba^2 + b^2 \geq 2aba2+b2≥2ab, khi cân bằng tức là a=ba = ba=b:
S=2x2S = 2x^2S=2x2

Khi a=ba = ba=b
Bây giờ, giả sử a=b=ka = b = ka=b=k, thì:

2k2022=2k2020 ⟹ k2022=k2020 ⟹ k2=1 ⟹ k=1(vıˋ a,b>0)2k^{2022} = 2k^{2020} \implies k^{2022} = k^{2020} \implies k^2 = 1 \implies k = 1 \quad (\text{vì } a, b > 0)2k2022=2k2020⟹k2022=k2020⟹k2=1⟹k=1(vıˋ a,b>0)

Giá trị lớn nhất
⇒a2+b2=1+1=2\Rightarrow a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2⇒a2+b2=1+1=2

Vậy GTTD của a2+b2a^2 + b^2a2+b2 là:

2\boxed{2}2

Kết luận là giá trị lớn nhất mà a2+b2a^2 + b^2a2+b2 có thể đạt được trong những điều kiện đã cho là 2.

...Xem thêm

Answer 2