a) Chứng minh $\hat{BAM} = \hat{ACM}$ và BH = AI

Chứng minh $\hat{BAM} = \hat{ACM}$:

Vì $\triangle ABC$ vuông cân tại A, nên AB = AC và $\hat{ABC} = \hat{ACB} = 45^\circ$.
M là trung điểm của BC, nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc BAC. Do đó, $\hat{BAM} = \hat{CAM} = 45^\circ$.
Xét tứ giác ABIC:$\hat{BAI} = 90^\circ$ (do BH $\perp$ AD)
$\hat{ACI} = 90^\circ$ (do CI $\perp$ AD)
$\hat{BAC} = 90^\circ$ (gt)
Tổng các góc trong tứ giác bằng $360^\circ$, nên $\hat{BAI} + \hat{ACI} + \hat{BAC} + \hat{ABC} = 360^\circ$, suy ra $\hat{ABI} + \hat{ACI} = 180^\circ$
Ta có: $\hat{BAM} = 45^\circ$, mặt khác, $\hat{ABC} = 45^\circ$, và tứ giác ABIC nội tiếp đường tròn, nên $\hat{ABI} = \hat{ACI} = 45^\circ$.
Mà $\hat{ACM} = \hat{ACB} - \hat{BCI} = 45^\circ$
Vậy: $\hat{BAM} = \hat{ACM} = 45^\circ$
Chứng minh BH = AI:

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CAI$:$\hat{AHB} = \hat{CIA} = 90^\circ$ (BH $\perp$ AD và CI $\perp$ AD)
AB = AC (gt)
$\hat{BAH} = 90^\circ - \hat{ABH}$
$\hat{CAI} = 90^\circ - \hat{ACI}$
Mà $\hat{ABH} = \hat{ACI}$ (chứng minh trên)
Vậy, $\hat{BAH} = \hat{ACI}$
Do đó, $\triangle ABH = \triangle CAI$ (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra BH = AI (hai cạnh tương ứng).
b) Chứng minh tam giác MHI vuông cân

Chứng minh $\triangle AMH = \triangle BMI$:

$AM = BM$ (gt)
$\hat{AMH} = \hat{AMI}$
$\hat{AHM} = \hat{BIM} = 90^\circ$ (BH $\perp$ AD và CI $\perp$ AD)
Suy ra: $\triangle AMH = \triangle BMI$ (c.g.c)
Chứng minh MH = MI:

Vì $\triangle AMH = \triangle BMI$ (chứng minh trên)
Suy ra: MH = MI
Chứng minh $\hat{HMI} = 90^\circ$:

Ta có: $\hat{HMA} = \hat{IMA}$
Mặt khác, $\hat{BMA} = 180^\circ$, và $\hat{HMA} + \hat{HMB} = 180^\circ$
Do đó: $\hat{HMI} = 180^\circ$.
Từ đó suy ra: $\hat{HMI} = 90^\circ$.
Vậy, $\triangle MHI$ vuông cân tại M (vì có MH = MI và $\hat{HMI} = 90^\circ$).
Kết luận:

$\hat{BAM} = \hat{ACM}$ và BH = AI.
Tam giác MHI vuông cân.
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào khác, đừng ngần ngại hỏi nhé.