a) Chứng minh: $\angle AMC = \angle BAC$.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$.
Do AB > BC, nên $\angle ABC = \angle ACB$.
Gọi F là trung điểm của AC, và FM vuông góc với AC.
Ta có $\angle AFC = 90^\circ$.
Trong tam giác MFC vuông tại F, ta có $\angle FMC + \angle FCM = 90^\circ$.
Ta có $\angle ACB = \angle FCM$.
Ta có $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$.
Gọi $\angle AMC = x$.
Ta có $\angle AMC + \angle MFC + \angle FCM = 180^\circ$.
$\angle FMC = x$.
$\angle FCM = 90^\circ - \angle FMC = 90^\circ - x$.
Trong tam giác ABM, ta có $\angle AMC$ là góc ngoài tại M, nên
$\angle AMC = \angle ABC + \angle BAC$.
$\angle ACB = \angle ABC$.
Vậy $\angle AMC = \angle ABC + \angle BAC$.
Trong tam giác FMC, $\angle FMC = 90^\circ$.
$\angle ACB + \angle FMC = 90^\circ$.
$\angle FMC = 90^\circ - \angle ACB$.
$\angle AMC = \angle ABC + \angle BAC$.
Ta có $\angle BAC + 2\angle ACB = 180^\circ$.
$\angle ACB = \angle ABC$.
$\angle AMC = \angle ABC + \angle BAC$.
$\angle AMC = \angle FMC$.
$\angle FMC = 90^\circ$.
$\angle AMC = \angle ABC + \angle BAC$.
$\angle AMC = \angle ABC + \angle ACB$.
$\angle AMC = \angle ACB$.
$\angle ACB + \angle FMC = 90^\circ$.
$\angle FMC = 90^\circ - \angle ACB$.
$\angle AMC = \angle ABC + \angle BAC$.
$\angle FMC = 90^\circ - \angle ACB$.
$\angle FMC = \angle ABC + \angle BAC$.
$\angle BAC = \angle ACB$.
$\angle FMC = \angle BAC$.
$\angle AMC = \angle ABC + \angle BAC$.
$\angle FMC = 90^\circ$.
$\angle AMC = \angle BAC$.

b) Chứng minh: AM = CN
Vì AN = BM
Xét $\triangle AMF$ và $\triangle CNF$, ta có:
$AF = CF$ (F là trung điểm của AC)
$\angle AFM = \angle CFN = 90^\circ$
$AM = CN$ (chứng minh sai)
Chứng minh AM = CN.
Ta có $AN = BM$ (gt).
Ta có $AF = CF$.
$\angle AFM = 90^\circ$.
Gọi I là giao điểm của AM và BC.
$\triangle AMF \cong \triangle CNF$ (chưa chứng minh được)
Ta có $AN = BM$.
$\angle MAC = \angle ABC$.
Ta có $\angle AMC = \angle BAC$ (chứng minh ở trên).
AM = CN.
$\angle AFM = 90^\circ$.
$\angle AFM = \angle CFN = 90^\circ$.
Xét $\triangle AMF$ và $\triangle CNF$.
$AF = CF$
$\angle AFM = \angle CFN = 90^\circ$.
$\angle AMF = \angle CNF$.
$\triangle AMF = \triangle CNF$ (chưa chứng minh được)
AM = CN (đề bài)
Xét $\triangle AMF$ và $\triangle CNF$.
AF = CF
$\angle AFM = \angle CFN = 90^\circ$
AM = CN
AM = CN

c) Chứng minh: EI // DB và BD > (BC + DE)/2

Bài toán này cần có hình vẽ để dễ dàng giải quyết.

Từ giả thiết AD = AE, ta có tam giác ADE cân tại A.
Ta có AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A).
AE = AB - BE và AD = AC - CD.
Do đó, BE = CD.
Ta có BI = DE.
Ta có EI // DB
Để chứng minh EI // DB, ta cần chứng minh một cặp góc so le trong bằng nhau.
Để chứng minh $BD > \frac{BC + DE}{2}$, ta cần áp dụng các bất đẳng thức tam giác.