Chúng ta có hệ phương trình từ điều kiện các tỉ số bằng nhau:

a+b+c−dd=b+c+d−aa=c+d+a−bb=d+a+b+cc\frac{a + b + c - d}{d} = \frac{b + c + d - a}{a} = \frac{c + d + a - b}{b} = \frac{d + a + b + c}{c}da+b+c−d​=ab+c+d−a​=bc+d+a−b​=cd+a+b+c​Điều này có nghĩa là ta có bốn tỉ số bằng nhau. Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm mối quan hệ giữa các đại lượng aaa, bbb, ccc, và ddd.

Sau khi giải được mối quan hệ giữa các đại lượng, ta sẽ tính giá trị của biểu thức sau:

(1+b+ca)×(1+c+bb)×(1+d+ac)×(1+a+bd)(1 + \frac{b+c}{a}) \times (1 + \frac{c+b}{b}) \times (1 + \frac{d+a}{c}) \times (1 + \frac{a+b}{d})(1+ab+c​)×(1+bc+b​)×(1+cd+a​)×(1+da+b​)Bây giờ, ta sẽ bắt đầu từ việc giải hệ phương trình.
Để giải hệ phương trình từ các tỉ số bằng nhau, ta xét từng phương trình:

a+b+c−dd=b+c+d−aa=c+d+a−bb=d+a+b+cc\frac{a + b + c - d}{d} = \frac{b + c + d - a}{a} = \frac{c + d + a - b}{b} = \frac{d + a + b + c}{c}da+b+c−d​=ab+c+d−a​=bc+d+a−b​=cd+a+b+c​Giả sử tất cả các tỉ số đều bằng một hằng số kkk. Khi đó, ta có bốn phương trình:

a+b+c−dd=k⇒a+b+c−d=kd⇒a+b+c=d(k+1)\frac{a + b + c - d}{d} = k \quad \Rightarrow \quad a + b + c - d = kd \quad \Rightarrow \quad a + b + c = d(k + 1)da+b+c−d​=k⇒a+b+c−d=kd⇒a+b+c=d(k+1) b+c+d−aa=k⇒b+c+d−a=ka⇒b+c+d=a(k+1)\frac{b + c + d - a}{a} = k \quad \Rightarrow \quad b + c + d - a = ka \quad \Rightarrow \quad b + c + d = a(k + 1)ab+c+d−a​=k⇒b+c+d−a=ka⇒b+c+d=a(k+1) c+d+a−bb=k⇒c+d+a−b=kb⇒c+d+a=b(k+1)\frac{c + d + a - b}{b} = k \quad \Rightarrow \quad c + d + a - b = kb \quad \Rightarrow \quad c + d + a = b(k + 1)bc+d+a−b​=k⇒c+d+a−b=kb⇒c+d+a=b(k+1) d+a+b+cc=k⇒d+a+b+c=kc⇒d+a+b+c=c(k+1)\frac{d + a + b + c}{c} = k \quad \Rightarrow \quad d + a + b + c = kc \quad \Rightarrow \quad d + a + b + c = c(k + 1)cd+a+b+c​=k⇒d+a+b+c=kc⇒d+a+b+c=c(k+1)Từ các phương trình này, ta có hệ phương trình:

a+b+c=d(k+1)a + b + c = d(k + 1)a+b+c=d(k+1) b+c+d=a(k+1)b + c + d = a(k + 1)b+c+d=a(k+1) c+d+a=b(k+1)c + d + a = b(k + 1)c+d+a=b(k+1) d+a+b+c=c(k+1)d + a + b + c = c(k + 1)d+a+b+c=c(k+1)Bây giờ, ta sẽ cố gắng giải hệ này. Để dễ dàng hơn, ta cộng tất cả các phương trình lại:

(a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b+c)=d(k+1)+a(k+1)+b(k+1)+c(k+1)(a + b + c) + (b + c + d) + (c + d + a) + (d + a + b + c) = d(k+1) + a(k+1) + b(k+1) + c(k+1)(a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b+c)=d(k+1)+a(k+1)+b(k+1)+c(k+1)Tính tổng bên trái:

a+b+c+b+c+d+c+d+a+d+a+b+c=3a+3b+3c+3da + b + c + b + c + d + c + d + a + d + a + b + c = 3a + 3b + 3c + 3da+b+c+b+c+d+c+d+a+d+a+b+c=3a+3b+3c+3dTính tổng bên phải:

d(k+1)+a(k+1)+b(k+1)+c(k+1)=(a+b+c+d)(k+1)d(k+1) + a(k+1) + b(k+1) + c(k+1) = (a + b + c + d)(k+1)d(k+1)+a(k+1)+b(k+1)+c(k+1)=(a+b+c+d)(k+1)Do đó, ta có phương trình:

3a+3b+3c+3d=(a+b+c+d)(k+1)3a + 3b + 3c + 3d = (a + b + c + d)(k + 1)3a+3b+3c+3d=(a+b+c+d)(k+1)Rút gọn:

3(a+b+c+d)=(a+b+c+d)(k+1)3(a + b + c + d) = (a + b + c + d)(k + 1)3(a+b+c+d)=(a+b+c+d)(k+1)Nếu a+b+c+d≠0a + b + c + d \neq 0a+b+c+d=0, ta có thể chia cả hai vế cho a+b+c+da + b + c + da+b+c+d:

3=k+13 = k + 13=k+1Do đó, k=2k = 2k=2.

Bây giờ ta thay k=2k = 2k=2 vào các phương trình ban đầu:

a+b+c=d(3),b+c+d=a(3),c+d+a=b(3),d+a+b+c=c(3)a + b + c = d(3), \quad b + c + d = a(3), \quad c + d + a = b(3), \quad d + a + b + c = c(3)a+b+c=d(3),b+c+d=a(3),c+d+a=b(3),d+a+b+c=c(3)Ta có:

a+b+c=3da + b + c = 3da+b+c=3d b+c+d=3ab + c + d = 3ab+c+d=3a c+d+a=3bc + d + a = 3bc+d+a=3b d+a+b+c=3cd + a + b + c = 3cd+a+b+c=3cTa sẽ giải hệ phương trình này.
Ta có hệ phương trình:

a+b+c=3da + b + c = 3da+b+c=3d b+c+d=3ab + c + d = 3ab+c+d=3a c+d+a=3bc + d + a = 3bc+d+a=3b d+a+b+c=3cd + a + b + c = 3cd+a+b+c=3cChúng ta sẽ tìm các giá trị của aaa, bbb, ccc, và ddd bằng cách thay thế và giải từ các phương trình này.

Từ phương trình thứ 4:
d+a+b+c=3c⇒d+a+b=2cd + a + b + c = 3c \quad \Rightarrow \quad d + a + b = 2cd+a+b+c=3c⇒d+a+b=2cBây giờ ta thay a+b+c=3da + b + c = 3da+b+c=3d vào phương trình này:

3d=d+a+b⇒2d=a+b3d = d + a + b \quad \Rightarrow \quad 2d = a + b3d=d+a+b⇒2d=a+bVậy ta có:

a+b=2da + b = 2da+b=2dTiếp theo, thay phương trình a+b=2da + b = 2da+b=2d vào phương trình thứ 2:
b+c+d=3a⇒2d+c+d=3a⇒3d+c=3a⇒c=3a−3db + c + d = 3a \quad \Rightarrow \quad 2d + c + d = 3a \quad \Rightarrow \quad 3d + c = 3a \quad \Rightarrow \quad c = 3a - 3db+c+d=3a⇒2d+c+d=3a⇒3d+c=3a⇒c=3a−3dCuối cùng, thay c=3a−3dc = 3a - 3dc=3a−3d vào phương trình thứ 3:
c+d+a=3b⇒(3a−3d)+d+a=3b⇒4a−2d=3bc + d + a = 3b \quad \Rightarrow \quad (3a - 3d) + d + a = 3b \quad \Rightarrow \quad 4a - 2d = 3bc+d+a=3b⇒(3a−3d)+d+a=3b⇒4a−2d=3bVậy ta có phương trình:

3b=4a−2d⇒b=4a−2d33b = 4a - 2d \quad \Rightarrow \quad b = \frac{4a - 2d}{3}3b=4a−2d⇒b=34a−2d​Bây giờ, ta có hệ phương trình với các mối quan hệ giữa aaa, bbb, ccc, và ddd. Thay các giá trị vào biểu thức cần tính:

(1+b+ca)×(1+c+bb)×(1+d+ac)×(1+a+bd)(1 + \frac{b+c}{a}) \times (1 + \frac{c+b}{b}) \times (1 + \frac{d+a}{c}) \times (1 + \frac{a+b}{d})(1+ab+c​)×(1+bc+b​)×(1+cd+a​)×(1+da+b​)Sau khi thay giá trị, ta sẽ tính được giá trị cuối cùng của biểu thức này.