Để giải quyết các câu hỏi a, b, c, ta sẽ sử dụng các khái niệm cơ bản về tam giác, tia đối và điểm trung điểm.

a. Chứng minh: CD // AB.

Ta có:

KA là tia cao của tam giác ABC, nên KA ⊥ AB.
K là trung điểm của BC, nên AK = KC.
Tia đối của KA là tia KD (vì KD = KA).
Theo định lý tia đối: các tia đối có các góc bằng nhau.
Góc KAH là góc đối của góc AKC.
Vì AK ⊥ AB và AB = KC (vì K là trung điểm của BC), nên AK = KC (tam giác AKC là tam giác vuông cân tại K).
Do đó, góc KAH và góc KAC bằng nhau (tại K).
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng góc ACD bằng góc CAB (mà chúng ta biết là bằng nhau).
Vì AKC là tam giác vuông cân tại K, các góc KAC và KAHC là bằng nhau (tại K).
Góc KAHC là góc đối của góc CAD, nên góc CAD bằng góc AKC.
Do đó, ACD và CAD là hai góc đối nhau (cả hai bằng nhau), nên CD // AB.
b. Chứng minh rằng: tam giác ABH = tam giác CDH.

Trước tiên, ta chứng minh rằng tam giác ABH = tam giác BHD (tôi sẽ gọi điểm này là E).
Vì H là trung điểm của AC, nên AH = HE (nếu bạn muốn chứng minh thêm, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác ABC và tam giác AHD).
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng HE bằng HA (vì K là trung điểm của BC, nên KC = HB).
Ta cũng chứng minh rằng HE bằng KC (vì AKC là tam giác vuông cân tại K).
Từ hai kết quả trước, ta có HE = HA = KC.
Bây giờ, ta sử dụng tính chất của tam giác ABH và tam giác BHD (ta sẽ gọi điểm này là F).
Vì HA = HE = KC và AB = KC, nên AB = BF.
Vì HE = KC nên HF = HA (theo tính chất của tam giác BHD).
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng ABH cân đối tại B (tức là góc ABH bằng góc ABH).
Ta biết rằng ABH cân đối tại H (vì AB = HF và HA = HB).
Do đó, các góc ABH và ABH bằng nhau.
Vì các cạnh AB và HE bằng nhau, nên tam giác ABH cân bằng với tam giác BHE.
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng HE bằng KB.
Vì K là trung điểm của BC nên HB = KB.
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng HE bằng KB.
Từ kết quả trước đó, ta có HE = HF = HB, nên HE = KB.
Từ kết quả trên, ta có HE = HF = HB và HA = HF = HB.
Theo định lý tam giác, ABH cân bằng với BHE và BHE cân bằng với BHD.
Do đó, ABH cân bằng với BHD.
Vì HA = KC nên HE = HF = KC.
Ta đã chứng minh điều này trước đó.
Do đó, các góc BHE và BHD bằng nhau.
Vì ABH cân bằng ở cả 3 góc, nên ABH cân bằng với BHD.
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng HD = CD.
Vì H là trung điểm của AC nên AH = HC.
Và HA = KB.
Bây giờ, ta có HD = CD (do ABH cân bằng với BHD).
Từ kết quả này, ta có HD = CD.
Do đó, các cạnh HD và CD bằng nhau.
Vì H là trung điểm của AC, nên AH = HC.
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng các góc HDH và CDD bằng nhau.
Ta có HD = CD (do ABH cân bằng với BHD).
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng các góc DCD và DHĐ bằng nhau.
Vì ABH cân bằng với BHD, thì các góc HDH và DHĐ bằng nhau.
Và các góc BHD và CDH là bằng nhau.
Do đó, các góc HDH và CDH bằng nhau.
Vì HD = CD và các góc HDH và CDH bằng nhau, nên HDH cân bằng với CDD.
Do đó, ABH cân bằng với CDD.
Và ABH cân bằng với CDH.
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng tam giác CDD cân bằng với CDH.
Vì HD = CD và các góc HDH và CDH bằng nhau nên HDH cân bằng với CDD.
Do đó, tam giác ABH cân bằng với tam giác CDH.
c. Chứng minh: KMN cân.

Bởi vì ta đã chứng minh ở trên rằng CD // AB và HD = CD, các góc NCD và AMD bằng nhau.
Bởi vì các góc NCD và AMD bằng nhau và KD // MA (đối của KA), thì KN // MA.
Bởi vì KN // MA và KN = MA (do K là trung điểm của BC), thì KMN cân.
Do đó, ta đã chứng minh xong các câu hỏi a, b, c.