Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng Δ1\Delta_1Δ1​ và Δ2\Delta_2Δ2​, chúng ta sẽ viết lại các phương trình của chúng và so sánh.

Phương trình của đường thẳng
Đường thẳng Δ1\Delta_1Δ1​ được cho bởi hai phương trình:
{x=3+3ty=−1+4t\begin{cases} x = 3 + 3t \\ y = -1 + 4t \end{cases}{x=3+3ty=−1+4t​

Chúng ta có thể biểu diễn Δ1\Delta_1Δ1​ dưới dạng tham số bằng ttt.

Đường thẳng Δ2\Delta_2Δ2​ cũng được cho bởi hai phương trình:
{x=29+9t′y=31+8t′\begin{cases} x = \frac{2}{9} + 9t' \\ y = \frac{3}{1} + 8t' \end{cases}{x=92​+9t′y=13​+8t′​

Phương trình Δ2\Delta_2Δ2​ có thể viết lại như sau:
{x=29+9t′y=3+8t′\begin{cases} x = \frac{2}{9} + 9t' \\ y = 3 + 8t' \end{cases}{x=92​+9t′y=3+8t′​

Chuyển đổi thành hệ phương trình
Chúng ta sẽ đưa hai đường thẳng vào dạng y=mx+by = mx + by=mx+b:

Đường thẳng Δ1\Delta_1Δ1​
Bắt đầu từ hai phương trình của Δ1\Delta_1Δ1​:

x=3+3tx = 3 + 3tx=3+3t => t=x−33t = \frac{x - 3}{3}t=3x−3​
Thay vào phương trình yyy:
y=−1+4(x−33)=−1+4(x−3)3=−1+4x−123y = -1 + 4\left(\frac{x - 3}{3}\right) = -1 + \frac{4(x - 3)}{3} = -1 + \frac{4x - 12}{3}y=−1+4(3x−3​)=−1+34(x−3)​=−1+34x−12​

y=4x−12−33=4x−153y = \frac{4x - 12 - 3}{3} = \frac{4x - 15}{3}y=34x−12−3​=34x−15​

Vậy phương trình của Δ1\Delta_1Δ1​ là:
y=43x−5y = \frac{4}{3}x - 5y=34​x−5

Đường thẳng Δ2\Delta_2Δ2​
Bắt đầu từ hai phương trình của Δ2\Delta_2Δ2​:

x=29+9t′x = \frac{2}{9} + 9t'x=92​+9t′ => t′=x−299t' = \frac{x - \frac{2}{9}}{9}t′=9x−92​​
Thay vào phương trình yyy:
y=3+8(x−299)=3+8(x−29)9y = 3 + 8\left(\frac{x - \frac{2}{9}}{9}\right) = 3 + \frac{8(x - \frac{2}{9})}{9}y=3+8(9x−92​​)=3+98(x−92​)​
=3+8x−1699=3+8x9−1681= 3 + \frac{8x - \frac{16}{9}}{9} = 3 + \frac{8x}{9} - \frac{16}{81}=3+98x−916​​=3+98x​−8116​
=243+8x−1681=8x+22781= \frac{243 + 8x - 16}{81} = \frac{8x + 227}{81}=81243+8x−16​=818x+227​

Vậy phương trình của Δ2\Delta_2Δ2​ là:
y=89x+22781y = \frac{8}{9}x + \frac{227}{81}y=98​x+81227​

Tìm hệ số góc
Từ kết quả trên, chúng ta có:

Hệ số góc của Δ1\Delta_1Δ1​ là m1=43m_1 = \frac{4}{3}m1​=34​
Hệ số góc của Δ2\Delta_2Δ2​ là m2=89m_2 = \frac{8}{9}m2​=98​
So sánh và xác định vị trí tương đối
Nếu m1≠m2m_1 \neq m_2m1​=m2​: Hai đường thẳng cắt nhau.
Nếu m1=m2m_1 = m_2m1​=m2​ và b1≠b2b_1 \neq b_2b1​=b2​: Hai đường thẳng song song.
Nếu m1=m2m_1 = m_2m1​=m2​ và b1=b2b_1 = b_2b1​=b2​: Hai đường thẳng trùng nhau.
Tính toán
So sánh:

m1=43m_1 = \frac{4}{3}m1​=34​ và m2=89m_2 = \frac{8}{9}m2​=98​
Để so sánh chúng, quy đồng với 27:

m1=4×927=3627m_1 = \frac{4 \times 9}{27} = \frac{36}{27}m1​=274×9​=2736​
m2=8×327=2427m_2 = \frac{8 \times 3}{27} = \frac{24}{27}m2​=278×3​=2724​
Vì 3627≠2427\frac{36}{27} \neq \frac{24}{27}2736​=2724​, ta có m1≠m2m_1 \neq m_2m1​=m2​.

Kết luận
Hai đường thẳng Δ1\Delta_1Δ1​ và Δ2\Delta_2Δ2​ cắt nhau tại một điểm duy nhất.