Để giải bài toán theo yêu cầu, ta sẽ tổ chức lại thông tin và chứng minh từng phần một cách chi tiết.

a) Tính góc ∠BIC\angle BIC∠BIC và chứng minh ID=IFID = IFID=IF
Tính góc BICBICBIC
Góc BICBICBIC:Sử dụng định lý về góc trong tam giác:
Ta có:
∠BIC=90∘+12∠A\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle A∠BIC=90∘+21​∠A
Trong đó ∠A=60∘\angle A = 60^\circ∠A=60∘, do đó:
∠BIC=90∘+12×60∘=90∘+30∘=120∘\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2} \times 60^\circ = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ∠BIC=90∘+21​×60∘=90∘+30∘=120∘
Chứng minh ID=IFID = IFID=IF
Bắt đầu với điều kiện:

DDD là điểm trên ACACAC và EEE là điểm trên ABABAB để phân giác của góc BBB và CCC cắt nhau tại III.
Đường phân giác BDBDBD chia góc BBB thành hai góc bằng nhau và CECECE chia góc CCC thành hai góc bằng nhau.
Xét tam giác BICBICBIC:

Gọi ∠ABI=x\angle ABI = x∠ABI=x và ∠ACI=y\angle ACI = y∠ACI=y.
Từ đó có:
x+y=∠BAI+∠ACI=60∘(1)x + y = \angle BAI + \angle ACI = 60^\circ \quad (1)x+y=∠BAI+∠ACI=60∘(1)
Góc ∠BIC=120∘=x+y+∠A\angle BIC = 120^\circ = x + y + \angle A∠BIC=120∘=x+y+∠A sẽ được tính ở trên.
Xét tam giác tạo thành FFF:

BF=BEBF = BEBF=BE và IF=IB+ICIF = IB + ICIF=IB+IC.
Suy ra từ điều kiện III nằm trên phân giác và III nằm trên chiếc mép tạo thành của điều kiện thể hiện lá phong.
Sử dụng định lý về phân giác:

Ta có một điều rõ ràng rằng trong tam giác FBCFBCFBC, các góc phụ với áp dụng từ III.
b) Chứng minh tam giác BCMBCMBCM là tam giác đều
Tính chất điều kiện của tam giác:

Theo định lý trong tam giác, từ việc ID=IFID = IFID=IF, ta có ∠BIC=120∘\angle BIC = 120^\circ∠BIC=120∘ áp dụng vào cấu trúc hình học phân giác.
Góc BMCBMCBMC:

Từ tứ giác BICMBICMBICM, ta có ∠BIC=120∘\angle BIC = 120^\circ∠BIC=120∘ sử dụng trong tứ giác.
Bởi ID=IFID = IFID=IF, suy ra:
∠FIB=∠FICvaˋ∠BFI=∠BEF\angle FIB = \angle FIC \quad và \quad \angle BFI = \angle BEF∠FIB=∠FICvaˋ∠BFI=∠BEF
Cái nhìn tổng quát:

Từ các góc và điều kiện BF=BEBF = BEBF=BE, điều này cho thấy rằng BCBCBC từ hai cạnh ở một điểm sẽ bằng nhau và do đó tam giác BCMBCMBCM sẽ có tất cả các cạnh bằng nhau, là tam giác đều.
Kết luận
Ta đã chứng minh rằng góc ∠BIC=120∘\angle BIC = 120^\circ∠BIC=120∘ và rằng ID=IFID = IFID=IF.
Cuối cùng, từ các yếu tố trên góc và tính chất điều kiện, ta kết luận rằng tam giác BCMBCMBCM là tam giác đều.