Để tính diện tích tam giác ABC, trước tiên chúng ta cần tìm tọa độ các đỉnh B và C.

Tìm điểm C trên đường cao CH:
Đường cao CH có phương trình là x−y+1=0x - y + 1 = 0x−y+1=0, tức là:
y=x+1y = x + 1y=x+1
Tọa độ điểm C sẽ là một điểm trên đường này, do đó ta có thể biểu diễn CCC là xC,xC+1x_C, x_C + 1xC​,xC​+1).
Tìm điểm B trên phân giác BN:
Phân giác BN có phương trình là 2x+y+5=02x + y + 5 = 02x+y+5=0, tức là:
y=−2x−5y = -2x - 5y=−2x−5
Tọa độ điểm B sẽ là một điểm trên đường này, do đó ta có thể biểu diễn BBB là xB,−2xB−5x_B, -2x_B - 5xB​,−2xB​−5).
Điều kiện để C và B thỏa mãn định nghĩa của tam giác ABC:
Do điểm C nằm trên đường cao từ điểm H, ta cần tìm tọa độ H, là chân đường cao từ A tới BC.

Giả sử H là điểm thuộc đoạn BC và được định vị theo tỉ lệ sao cho:

Đường thẳng AH vuông góc với BC.
Tìm phương trình đường thẳng BC:
Sử dụng điểm B và C tìm ra độ dốc:

Tọa độ B: xB,−2xB−5x_B, -2x_B - 5xB​,−2xB​−5)
Tọa độ C: xC,xC+1x_C, x_C + 1xC​,xC​+1)
Độ dốc mBC=xC+1−−2xB−5xC−xBm_{BC} = \frac{x_C + 1 - -2x_B - 5}{x_C - x_B}mBC​=xC​−xB​xC​+1−−2xB​−5​B}).
Sau đó, điểm A(1, -2) và đường thẳng BC sẽ tạo ra đường vuông góc, từ đó ta sẽ có một phương trình cần giải để tìm được chân H.
Diện tích của tam giác ABC:
Sau khi xác định được tọa độ B, C, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác:
S=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|S=21​∣x1​(y2​−y3​)+x2​(y3​−y1​)+x3​(y1​−y2​)∣
trong đó Ax1,y1Ax_1, y_1Ax1​,y1​), Bx2,y2Bx_2, y_2Bx2​,y2​), Cx3,y3Cx_3, y_3Cx3​,y3​).
Tuy nhiên, để tính chính xác, với bài toán chưa rõ tọa độ B và C, ta có thể tính diện tích bằng cách tìm H và sau đó xác định cách tính diện tích từ 3 đỉnh dựa vào tọa độ đã cho.

Sau khi tính toán và xác định các tọa độ, hãy nhớ kiểm tra và thay thế vào công thức để tính diện tích, từ đó tính diện tích tam giác ABC.

Do các bước này không đủ cho việc đóng-kết và xác định phối hợp nên cần thêm các phương trình dạng chuẩn để có thể hoàn tất bài toán.