hi \(m = 1\), phương trình có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = 3\); để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(\vert{}x_1 - x_2\vert{} = 6\) thì giá trị cần tìm là \(m = 5\).

1. Giải phương trình khi \(m = 1\)
Thay \(m = 1\) vào phương trình ban đầu:
\(x^{2}-4(1)x+4(1)^{2}-2(1)+1=0\)
\(x^{2}-4x+3=0\)
Ta thấy các hệ số có dạng \(a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0\). Theo định lý Vi-ét, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1 = 1\)
\(x_2 = \frac{c}{a} = 3\)

2. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Xét phương trình bậc hai: \(x^2 - 4mx + 4m^2 - 2m + 1 = 0\).
Tính biệt thức biệt số phẩy \(\Delta ^{\prime }\):
\(\Delta ^{\prime }=(-2m)^{2}-1\cdot (4m^{2}-2m+1)\)
\(\Delta ^{\prime }=4m^{2}-4m^{2}+2m-1=2m-1\)
Để phương trình có \(2\) nghiệm phân biệt, ta cần:
\(\Delta ^{\prime }>0\implies 2m-1>0\implies m>\frac{1}{2}\)

3. Áp dụng hệ thức Vi-ét và giải tìm \(m\)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
\(x_1 + x_2 = 4m\)
\(x_1 x_2 = 4m^2 - 2m + 1\)

Biến đổi yêu cầu bài toán \(\vert{}x_1 - x_2\vert{} = 6\) bằng cách bình phương hai vế:
\((x_{1}-x_{2})^{2}=36\)
\((x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=36\)
Thay các giá trị Vi-ét vào biểu thức trên:
\((4m)^{2}-4(4m^{2}-2m+1)=36\)
\(16m^{2}-16m^{2}+8m-4=36\)
\(8m-4=36\)
\(8m=40\implies m=5\)
So sánh với điều kiện \(m > \frac{1}{2}\), giá trị \(m = 5\) hoàn toàn thỏa mãn.

Kết luận ✅
Vậy khi \(m = 1\), phương trình có tập nghiệm \(S = \{1; 3\}\) và giá trị \(m\) cần tìm để hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(\vert{}x_1 - x_2\vert{} = 6\) là \(m = 5\).