Xét ∆ACD và ∆BDC có:

AD = BC;

ˆADC=ˆBCDADC^=BCD^ (do ABCD là hình thang cân);

CD là cạnh chung

Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).

Suy ra ˆACD=ˆBDCACD^=BDC^ (hai góc tương ứng)

Tam giác PCD có ˆPCD=ˆPDCPCD^=PDC^ nên là tam giác cân tại P.

Suy ra PC = PD.

Mà AC = BD (do ∆ACD = ∆BDC);

      AC = AP + PC; BD = PD + BD

Suy ra PA = PB nên P nằm trên đường trung trực của AB (1)

• Do AB // CD nên ˆQAB=ˆADC;ˆQBA=ˆBCDQAB^=ADC^;QBA^=BCD^ (các cặp góc đồng vị).

Mặt khác, ˆADC=ˆBCDADC^=BCD^ (do ∆ACD = ∆BDC) nên ˆQAB=ˆQBAQAB^=QBA^.

Do đó, tam giác QAB cân tại Q.

Suy ra QA = QB nên Q nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra PQ là đường trung trực của AB.

• Ta có: AD = BC và PA = PB suy ra QD = QC.

Do đó Q nằm trên đường trung trực của CD.

Mặt khác PC = PD (chứng minh trên) nên P cũng nằm trên đường trung trực của CD.

Suy ra PQ là đường trung trực của CD.

Vậy PQ là đường trung trực của cả hai đoạn AB và CD.

### Bài 4: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O sao cho ∠AOB = 60°. Gọi M là hình chiếu của B lên AC, N là hình chiếu của C lên BD, P là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác MNP đều.

#### Chứng minh tam giác MNP đều khi ∠AOB = 60°

1. **Đặc điểm của hình thang cân:**
- Do AB // CD và AB < CD, hình thang ABCD là hình thang cân.

2. **Đường chéo cắt nhau tại O với góc ∠AOB = 60°:**
- Vì hai đường chéo cắt nhau tại O với góc ∠AOB = 60°, ta có:
\[
\angle BOC = 180° - \angle AOB = 180° - 60° = 120°
\]

3. **Gọi M là hình chiếu của B lên AC, N là hình chiếu của C lên BD:**
- M và N là chân các đường vuông góc từ B và C lên các đường AC và BD tương ứng.

4. **P là trung điểm của BC:**
- Do P là trung điểm của BC, ta có BP = PC.

5. **Xét tam giác MNP:**
- Vì hình chiếu của B và C trên AC và BD lần lượt là M và N, tam giác MNP được tạo thành.
- Góc MNP = ∠MOP (do M và N là các điểm đối xứng qua O).

6. **Các đoạn thẳng bằng nhau:**
- Do ∠MOP = ∠NOP = 120°/2 = 60°.
- Vậy tam giác MNP có các góc đều bằng 60°, tức là tam giác đều.

### Bài toán còn đúng không nếu ∠COB = 60°?

1. **Khi ∠COB = 60°:**
- Tương tự như trên, ta có ∠AOB = 180° - ∠COB = 120°.
- Các bước chứng minh tam giác MNP đều tương tự như trên nhưng với góc khác.

#### Chứng minh lại khi ∠COB = 60°:

1. **Đặc điểm của hình thang cân:**
- Hình thang ABCD vẫn là hình thang cân.

2. **Đường chéo cắt nhau tại O với góc ∠COB = 60°:**
- Ta có:
\[
\angle AOB = 180° - \angle COB = 180° - 60° = 120°
\]

3. **Gọi M là hình chiếu của B lên AC, N là hình chiếu của C lên BD:**
- M và N vẫn là chân các đường vuông góc từ B và C lên các đường AC và BD tương ứng.

4. **P là trung điểm của BC:**
- P là trung điểm của BC, ta có BP = PC.

5. **Xét tam giác MNP:**
- Góc MNP = ∠MOP (do M và N là các điểm đối xứng qua O).

6. **Các đoạn thẳng bằng nhau:**
- Do ∠MOP = ∠NOP = 120°/2 = 60°.
- Vậy tam giác MNP có các góc đều bằng 60°, tức là tam giác đều.