Để tìm số dư của \( S \) khi chia cho 31, ta có thể sử dụng định lý Fermat nhỏ. Định lý Fermat nhỏ cho biết rằng nếu \( p \) là số nguyên tố và \( a \) là số nguyên dương không chia hết cho \( p \), thì:
\[ a^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod} \ p) \]

Trong trường hợp này, \( p = 31 \) và \( a = 5 \), ta có:
\[ 5^{30} \equiv 1 \ (\text{mod} \ 31) \]

Sử dụng định lý này, ta tính \( 5^k \ (\text{mod} \ 31) \) cho các giá trị \( k \) khác nhau từ 2 đến 2010.

### Bước 1: Xác định chu kỳ của \( 5^k \) theo \( \text{mod} \ 31 \)
- Từ \( 5^{30} \equiv 1 \ (\text{mod} \ 31) \), chúng ta biết rằng \( 5^k \ (\text{mod} \ 31) \) lặp lại sau mỗi 30 số.

### Bước 2: Tính các giá trị cụ thể
- Ta có chuỗi số cần tính:
\[ S = 17 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2010} \]

- Chia các số mũ trong dãy \( 5^2, 5^3, \ldots, 5^{2010} \) thành các nhóm mỗi nhóm có 30 số:

Số lượng các nhóm hoàn chỉnh:
\[ \left\lfloor \frac{2010 - 1}{30} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{2009}{30} \right\rfloor = 66 \]

Như vậy, mỗi nhóm 30 số sẽ cho kết quả tổng dư là:
\[ (5^1 + 5^2 + \ldots + 5^{30}) \equiv (5^1 + 5^2 + \ldots + 5^{30}) \ (\text{mod} \ 31) \]

Dùng định lý Fermat nhỏ:
\[ 5^{30} \equiv 1 \ (\text{mod} \ 31) \]

Do đó, ta có:
\[ 5^1 + 5^2 + \ldots + 5^{30} \equiv 1 + 1 + \ldots + 1 \equiv 30 \ (\text{mod} \ 31) \]

### Bước 3: Tổng hợp kết quả

Vì có 66 nhóm 30 số và mỗi nhóm tổng là 30 (theo mod 31):
\[ 66 \times 30 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 31) \]

Cuối cùng, thêm 17 vào:
\[ S \equiv 17 \ (\text{mod} \ 31) \]

Vậy số dư của \( S \) khi chia cho 31 là 17.

Để tìm số dư của SS khi chia cho 31, ta có thể sử dụng định lý Fermat nhỏ. Định lý Fermat nhỏ cho biết rằng nếu pp là số nguyên tố và aa là số nguyên dương không chia hết cho pp, thì:
ap−1≡1 (mod p)ap−1≡1 (mod p)

Trong trường hợp này, p=31p=31 và a=5a=5, ta có:
530≡1 (mod 31)530≡1 (mod 31)

Sử dụng định lý này, ta tính 5k (mod 31)5k (mod 31) cho các giá trị kk khác nhau từ 2 đến 2010.

### Bước 1: Xác định chu kỳ của 5k5k theo mod 31mod 31
- Từ 530≡1 (mod 31)530≡1 (mod 31), chúng ta biết rằng 5k (mod 31)5k (mod 31) lặp lại sau mỗi 30 số.

### Bước 2: Tính các giá trị cụ thể
- Ta có chuỗi số cần tính:
S=17+52+53+…+52010S=17+52+53+…+52010

- Chia các số mũ trong dãy 52,53,…,5201052,53,…,52010 thành các nhóm mỗi nhóm có 30 số:

Số lượng các nhóm hoàn chỉnh:
⌊2010−130⌋=⌊200930⌋=66⌊2010−130⌋=⌊200930⌋=66

Như vậy, mỗi nhóm 30 số sẽ cho kết quả tổng dư là:
(51+52+…+530)≡(51+52+…+530) (mod 31)(51+52+…+530)≡(51+52+…+530) (mod 31)

Dùng định lý Fermat nhỏ:
530≡1 (mod 31)530≡1 (mod 31)

Do đó, ta có:
51+52+…+530≡1+1+…+1≡30 (mod 31)51+52+…+530≡1+1+…+1≡30 (mod 31)

### Bước 3: Tổng hợp kết quả

Vì có 66 nhóm 30 số và mỗi nhóm tổng là 30 (theo mod 31):
66×30≡0 (mod 31)66×30≡0 (mod 31)

Cuối cùng, thêm 17 vào:
S≡17 (mod 31)S≡17 (mod 31)

Vậy số dư của SS khi chia cho 31 là 17.