Chúng ta sẽ giải từng bài toán để tìm các cặp số nguyên $a, b$.

### a) $\frac{a}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{b}$

Đầu tiên, tìm mẫu chung cho các phân số là 6:
$\frac{2a}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{b}$
$\frac{2a + 3}{6} = \frac{1}{b}$
Phân số hai bên bằng nhau:
$b(2a + 3) = 6$
Để $2a + 3$ là ước của 6:
$2a + 3 = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Tìm giá trị nguyên của $a$:
1. $2a + 3 = 1$ -> $2a = -2$ -> $a = -1$, $b = 3$
2. $2a + 3 = -1$ -> $2a = -4$ -> $a = -2$, $b = -3$
3. $2a + 3 = 2$ -> $2a = -1$ -> $a = -0.5$ -> Không hợp lệ
4. $2a + 3 = -2$ -> $2a = -5$ -> $a = -2.5$ -> Không hợp lệ
5. $2a + 3 = 3$ -> $2a = 0$ -> $a = 0$, $b = 2$
6. $2a + 3 = -3$ -> $2a = -6$ -> $a = -3$, $b = -2$
7. $2a + 3 = 6$ -> $2a = 3$ -> $a = 1.5$ -> Không hợp lệ
8. $2a + 3 = -6$ -> $2a = -9$ -> $a = -4.5$ -> Không hợp lệ

Các cặp nguyên $a, b$:
- $(a, b) = (-1, 3), (-2, -3), (0, 2), (-3, -2)$

### b) $\frac{5}{a} - \frac{1}{b} = 1$

Tìm mẫu chung cho các phân số:
$\frac{5b - a}{ab} = 1$
$5b - a = ab$
Sắp xếp lại thành phương trình:
$ab + a - 5b = 0$
$a(b + 1) = 5b$
$a = \frac{5b}{b + 1}$

Tìm giá trị nguyên của $a, b$:
1. $b + 1$ là ước của 5:
$b + 1 = \pm 1, \pm 5$

a = 5b / (b+1):

1. $b + 1 = 1$ -> $b = 0$ -> Không hợp lệ
2. $b + 1 = -1$ -> $b = -2$ -> $a = 5$
3. $b + 1 = 5$ -> $b = 4$ -> $a = 4$
4. $b + 1 = -5$ -> $b = -6$ -> $a = 5/(-6-1)= -5/6$ -> Không hợp lệ

Các cặp nguyên $a, b$:
- $(a, b) = (5, -2), (4, 4)$

### c) $\frac{2}{a} - \frac{b}{3} = \frac{1}{2}$

Tìm mẫu chung:
$\frac{4}{2a} - \frac{b}{3} = \frac{1}{2}$
$\frac{4}{a} - \frac{b}{3} = 1$
$4 \times 3 - ab = a$
$12 - ab = a$

$ab + a = 12$
$a = 12/(b+1)$

Các cặp nguyên $a,b$:
1. $b + 1$ là ước của 12:
1. $b + 1 = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

ab + a =12
$a = 12 / (b+1)$

1. $b + 1 = 1$ -> $b = 0$ -> Không hợp lệ
2. $b + 1 = 2$ -> $b = 1$ -> $a = 12$
3. $b + 1 = -1$ -> $b = -2$ -> Không hợp lệ

### d) $\frac{a + 5}{b + 6} = \frac{5}{6}$
$a + b = -22$

$\frac{a+5}{b+6} = 5/6$
$6(a+5) = 5(b+6)$
$6a +30 = 5b +30$
$6a =5b -30 -> ab +a= 12 ->\frac{a + b = -22}$