Chúng ta sẽ giải từng bài toán để tìm các cặp số nguyên \(a, b\).

### a) \( \frac{a}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{b} \)

Đầu tiên, tìm mẫu chung cho các phân số là 6:
\[ \frac{2a}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{b} \]
\[ \frac{2a + 3}{6} = \frac{1}{b} \]
Phân số hai bên bằng nhau:
\[ b(2a + 3) = 6 \]
Để \(2a + 3\) là ước của 6:
\[ 2a + 3 = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \]

Tìm giá trị nguyên của \(a\):
1. \( 2a + 3 = 1 \) -> \( 2a = -2 \) -> \( a = -1 \), \( b = 3 \)
2. \( 2a + 3 = -1 \) -> \( 2a = -4 \) -> \( a = -2 \), \( b = -3 \)
3. \( 2a + 3 = 2 \) -> \( 2a = -1 \) -> \( a = -0.5 \) -> Không hợp lệ
4. \( 2a + 3 = -2 \) -> \( 2a = -5 \) -> \( a = -2.5 \) -> Không hợp lệ
5. \( 2a + 3 = 3 \) -> \( 2a = 0 \) -> \( a = 0 \), \( b = 2 \)
6. \( 2a + 3 = -3 \) -> \( 2a = -6 \) -> \( a = -3 \), \( b = -2 \)
7. \( 2a + 3 = 6 \) -> \( 2a = 3 \) -> \( a = 1.5 \) -> Không hợp lệ
8. \( 2a + 3 = -6 \) -> \( 2a = -9 \) -> \( a = -4.5 \) -> Không hợp lệ

Các cặp nguyên \(a, b\):
- \( (a, b) = (-1, 3), (-2, -3), (0, 2), (-3, -2) \)

### b) \( \frac{5}{a} - \frac{1}{b} = 1 \)

Tìm mẫu chung cho các phân số:
\[ \frac{5b - a}{ab} = 1 \]
\[ 5b - a = ab \]
Sắp xếp lại thành phương trình:
\[ ab + a - 5b = 0 \]
\[ a(b + 1) = 5b \]
\[ a = \frac{5b}{b + 1} \]

Tìm giá trị nguyên của \(a, b\):
1. \( b + 1 \) là ước của 5:
\[ b + 1 = \pm 1, \pm 5 \]

a = 5b / (b+1):

1. \( b + 1 = 1 \) -> \( b = 0 \) -> Không hợp lệ
2. \( b + 1 = -1 \) -> \( b = -2 \) -> \( a = 5 \)
3. \( b + 1 = 5 \) -> \( b = 4 \) -> \( a = 4 \)
4. \( b + 1 = -5 \) -> \( b = -6 \) -> \( a = 5/(-6-1)= -5/6 \) -> Không hợp lệ

Các cặp nguyên \(a, b\):
- \( (a, b) = (5, -2), (4, 4) \)

### c) \( \frac{2}{a} - \frac{b}{3} = \frac{1}{2} \)

Tìm mẫu chung:
\[ \frac{4}{2a} - \frac{b}{3} = \frac{1}{2} \]
\[ \frac{4}{a} - \frac{b}{3} = 1 \]
\[ 4 \times 3 - ab = a \]
\[ 12 - ab = a \]

\[ ab + a = 12 \]
\[ a = 12/(b+1)\]

Các cặp nguyên \(a,b\):
1. \( b + 1 \) là ước của 12:
1. \( b + 1 = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \)

ab + a =12
\[ a = 12 / (b+1)\]

1. \( b + 1 = 1 \) -> \( b = 0 \) -> Không hợp lệ
2. \( b + 1 = 2 \) -> \( b = 1 \) -> \( a = 12 \)
3. \( b + 1 = -1 \) -> \( b = -2 \) -> Không hợp lệ

### d) \( \frac{a + 5}{b + 6} = \frac{5}{6} \)
\( a + b = -22 \)

\[ \frac{a+5}{b+6} = 5/6\]
\[ 6(a+5) = 5(b+6) \]
\[ 6a +30 = 5b +30 \]
\[ 6a =5b -30 -> ab +a= 12 ->\frac{a + b = -22}\]