Bài toán cho tam giác ABC với các điểm đã cho tọa độ của B và C. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
Để giải bài này, ta sử dụng tính chất của hình bình hành: trung điểm của các đường chéo của hình bình hành trùng nhau. Vì vậy, ta có thể tính trung điểm của đoạn AC và đoạn BD, rồi từ đó suy ra tọa độ điểm D.

Tọa độ của A, B, C đã cho:

$A(x_1, y_1)$ (vì chưa có tọa độ của A, ta chỉ để là $A(x_1, y_1))$.
B(1, 30).
C(-2, 5).
Gọi tọa độ điểm D là $D(x_4, y_4)$.

Bước 1: Tính trung điểm của đoạn AC.

Trung điểm M của đoạn AC có tọa độ:

M = $( \frac{x_1 + (-2)}{2}$, $\frac{y_1 + 5}{2}$ )

Bước 2: Tính trung điểm của đoạn BD.

Trung điểm N của đoạn BD có tọa độ:

N = $( \frac{1 + x_4}{2}$, $\frac{30 + y_4}{2}$)

Vì trung điểm M và N trùng nhau (do là hình bình hành), ta có:

$\frac{x_1 - 2}{2}$ = $\frac{1 + x_4}{2}$ $\text{và}$ 4\frac{y_1 + 5}{2}$ = $\frac{30 + y_4}{2}$

Giải hệ phương trình này để tìm tọa độ của D.

b) Tính $\cos$ A
Để tính $\cos$ A, ta cần sử dụng công thức liên quan đến góc giữa hai vectơ:

$\cos$ A = $\frac{\vec{AB}$ $\cdot$ $\vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}$

Bước 1: Tính các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

$\vec{AB}$ = $(B_x - A_x, B_y - A_y)$ = $(1 - x_1, 30 - y_1)$.
$\vec{AC}$ = $(C_x - A_x, C_y - A_y)$ = $(-2 - x_1, 5 - y_1)$.
Bước 2: Tính tích vô hướng $\vec{AB}$ $\cdot$ $\vec{AC}$.

$\vec{AB}$ $\cdot$ $\vec{AC}$ = $(1 - x_1)(-2 - x_1) + (30 - y_1)(5 - y_1)$

Bước 3: Tính độ dài của các vectơ.

$\vec{AB}|$ = $\sqrt{(1 - x_1)^2 + (30 - y_1)^2}$ $\vec{AC}|$ = $\sqrt{(-2 - x_1)^2 + (5 - y_1)^2}$

Sau khi tính xong, ta sẽ có giá trị của $\cos A$.