a. Tính độ dài NCNCNC
Bài cho rằng từ điểm MMM trên cạnh ABABAB, kẻ đường thẳng song song với BCBCBC, cắt cạnh ACACAC tại điểm NNN. Đã cho thông tin:

AM=2 cmAM = 2 \, \text{cm}AM=2cm,
MB=5 cmMB = 5 \, \text{cm}MB=5cm,
AN=4 cmAN = 4 \, \text{cm}AN=4cm.
Do đường thẳng qua MMM song song với cạnh BCBCBC, theo định lý "đoạn thẳng song song với một cạnh của tam giác chia tam giác đó thành hai phần tỉ lệ với các cạnh còn lại", ta có tỉ lệ:

AMMB=ANNC.\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}.MBAM​=NCAN​.Thay giá trị vào:

25=4NC.\frac{2}{5} = \frac{4}{NC}.52​=NC4​.Giải phương trình này để tìm NCNCNC:

NC=5×42=10 cm.NC = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \, \text{cm}.NC=25×4​=10cm.Vậy, độ dài của NCNCNC là 10 cm10 \, \text{cm}10cm.

b. Chứng minh AMAB=MBBC\frac{AM}{AB} = \frac{MB}{BC}ABAM​=BCMB​
Trong bài, yêu cầu chứng minh rằng:

AMAB=MBBC.\frac{AM}{AB} = \frac{MB}{BC}.ABAM​=BCMB​.Ta có AB=AM+MB=2+5=7 cmAB = AM + MB = 2 + 5 = 7 \, \text{cm}AB=AM+MB=2+5=7cm. Do đường thẳng qua MMM song song với cạnh BCBCBC, theo định lý về đoạn thẳng song song, ta có tỉ lệ:

AMAB=MBBC.\frac{AM}{AB} = \frac{MB}{BC}.ABAM​=BCMB​.Vì đây là tính chất của đoạn thẳng song song chia tam giác thành tỉ lệ, ta không cần làm thêm phép tính. Tính chất này đã được chứng minh dựa trên định lý về các đoạn thẳng song song trong tam giác.

Vậy, ta đã chứng minh được:

AMAB=MBBC.\frac{AM}{AB} = \frac{MB}{BC}.ABAM​=BCMB​.Kết luận:
Độ dài NC=10 cmNC = 10 \, \text{cm}NC=10cm.
Đã chứng minh AMAB=MBBC\frac{AM}{AB} = \frac{MB}{BC}ABAM​=BCMB​.