Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Vì khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao 8 cm, nên ta có thể tích nước trong khay thứ nhất trước khi đổ ra là: 20.10.8 = 1 600 (cm3).

Sau khi đổ nước sang khay thứ hai, ta thấy rằng lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi 1414 so với ban đầu, cho nên lượng nước có ở trong khay thứ 2 bằng 1414 lượng nước ban đầu có ở trong khay thứ nhất.

Như vậy, thể tích nước có trong khay thứ hai là 1600.14=400(cm3).1 600.14=400 (cm3).

Gọi chiều cao của khay thứ hai là h (cm).

Giả sử khay thứ hai có hình dạng chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ như hình vẽ sau:

Dễ dàng chứng minh được ACC’A’ là hình thang cân. Lấy MN song song với AC; H, K lần lượt là hình chiếu của A’, C’ trên AC; P, Q lần lượt là giao điểm của A’H và MN, C’K và MN như hình vẽ sau:

Theo giả thiết mực nước (ngang với MN) trong khay thứ hai cao bằng 2323 chiều cao của khay đó, nên ta có thể coi C’Q chính là chiều cao nước trong khay.

Dễ thấy: A’H = C’K = h.

Suy ra: C′Q=23hC'Q=23h , có nghĩa là chiều cao nước trong khay thứ hai là 23h.23h.

Vì H, K lần lượt là hình chiếu của A’, C’ trên AC nên A’H ⊥ AC, C’K ⊥ AC.

Suy ra A’H // C’K và ˆA′HK=90°A'HK^=90° mà HK // A’C’ nên HKC’A’ là hình chữ nhật

Từ đó ta có A’C’ = HK = n.

Dễ dàng chứng minh được ∆AHA’ = ∆CKC’ nên AH = CK.

⇒AH=CK=AC−HK2=2n−n2=n2.⇒AH=CK=AC−HK2=2n−n2=n2.

Tam giác A’AH có MP // AH, nên theo hệ quả định lí Thales ta có: MPAH=A′PA′H=23MPAH=A'PA'H=23

⇒MP=23AH=23.n2=n3.⇒MP=23AH=23.n2=n3.

Tương tự tam giác C’CK có QN // CK nên ta cũng có QN=n3.QN=n3.

Do đó: MN=MP+PQ+QN=n3+n+n3=5n3.MN=MP+PQ+QN=n3+n+n3=5n3.

Theo giả thiết ta có thể tích nước trong khay thứ hai bằng thể tích khối chóp cụt tứ giác đều với đáy lớn (hình vuông) nhận MN là đường chéo có diện tích S′1S'1 và đáy nhỏ (hình vuông) nhận A’C’ làm đường chéo có diện tích S′2,S'2, chiều cao bằng h′=23h.h'=23h.

·S′1=MN22=(5n3)22=25n218.S'1=MN22=5n322=25n218.

·S′2=A′C′22=n22.S'2=A'C'22=n22.

⇒V′=13⋅(23h)⋅(25n218+√25n218.n22+n22)=4981n2h⇒V'=13⋅23h⋅25n218+25n218.n22+n22=4981n2h

Mà thể tích nước trong khay thứ hai là 400 cm3, nên ta có:

V=4981n2h=400⇒n2h=3240049.V=4981n2h=400⇒n2h=32 40049.

Mặt khác, thể tích khay thứ hai bằng thể tích khối chóp cụt tứ giác đều với đáy lớn (hình vuông) nhận AC là đường chéo có diện tích S1 và đáy nhỏ (hình vuông) nhận A’C’ làm đường chéo có diện tích S2, chiều cao bằng h.

·S1=AC22=(2n)22=2n2.S1=AC22=2n22=2n2.

·S2=A′C′22=n22.S2=A'C'22=n22.

⇒V=13h.(2n2+√2n2.n22+n22)=76n2h⇒V=13h.2n2+2n2.n22+n22=76n2h

Mà n2h=3240049⇒V=76.3240049=54007(cm3).n2h=32 40049⇒V=76.32 40049=5 4007 (cm3).

Vậy thể tích của chiếc khay thứ hai bằng 54007(cm3).

...Xem thêm

Answer 2