Cho hàm số \( y = f(x) = ax^2 + bx + c \), với \( a, b, c \) là các số thực. Biết:
1. Hàm số đi qua điểm \( A(2;3) \), tức là \( f(2) = 3 \).
2. Đỉnh \( I(1;2) \), nghĩa là tọa độ đỉnh là \( x = 1, y = 2 \).

Ta tính giá trị của \( a + b + c \).

---

### **Bước 1: Sử dụng điều kiện đỉnh \( I(1;2) \)**

Với hàm số \( y = ax^2 + bx + c \), tọa độ \( x \) của đỉnh được cho bởi công thức:
\[
x = -\frac{b}{2a}.
\]
Từ đó, \( x = 1 \), suy ra:
\[
1 = -\frac{b}{2a} \implies b = -2a. \tag{1}
\]

Ngoài ra, \( y \) của đỉnh \( I(1;2) \) thỏa mãn:
\[
f(1) = 2 \implies a(1)^2 + b(1) + c = 2 \implies a + b + c = 2. \tag{2}
\]

---

### **Bước 2: Sử dụng điều kiện hàm số đi qua điểm \( A(2;3) \)**

Điểm \( A(2;3) \) thỏa mãn:
\[
f(2) = 3 \implies a(2)^2 + b(2) + c = 3.
\]
Thay \( b = -2a \) (từ (1)):
\[
4a + 2(-2a) + c = 3 \implies 4a - 4a + c = 3 \implies c = 3. \tag{3}
\]

---

### **Bước 3: Tìm \( a \) và \( b \)**

Thay \( c = 3 \) vào phương trình (2):
\[
a + b + 3 = 2 \implies a + b = -1. \tag{4}
\]
Thay \( b = -2a \) (từ (1)) vào (4):
\[
a - 2a = -1 \implies -a = -1 \implies a = 1.
\]
Từ \( b = -2a \):
\[
b = -2(1) = -2.
\]

---

### **Bước 4: Tính \( a + b + c \)**

\[
a + b + c = 1 + (-2) + 3 = 2.
\]

---

### **Kết luận**
Giá trị của \( a + b + c \) là:
\[
\boxed{2}.
\]