### Bài toán:
Cho hình hộp \( ABCD, A'B'C'D' \). Gọi \( G \) và \( G' \) lần lượt là trọng tâm của tam giác \( B'D'A' \) và \( BDC' \). Hỏi \( GG' = k \cdot A'C \), tính \( k \).

---

### **Phân tích:**

#### 1. Tọa độ của các điểm:
Gọi tọa độ các điểm của hình hộp là:
\[
A(0, 0, 0), \, B(a, 0, 0), \, C(a, b, 0), \, D(0, b, 0)
\]
\[
A'(0, 0, h), \, B'(a, 0, h), \, C'(a, b, h), \, D'(0, b, h)
\]

#### 2. Tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( B'D'A' \):
Các đỉnh của tam giác \( B'D'A' \) là:
\[
B'(a, 0, h), \, D'(0, b, h), \, A'(0, 0, h)
\]
Tọa độ trọng tâm \( G \) được tính bằng trung bình cộng tọa độ các đỉnh:
\[
G = \left( \frac{a + 0 + 0}{3}, \frac{0 + b + 0}{3}, \frac{h + h + h}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, h \right)
\]

#### 3. Tọa độ trọng tâm \( G' \) của tam giác \( BDC' \):
Các đỉnh của tam giác \( BDC' \) là:
\[
B(a, 0, 0), \, D(0, b, 0), \, C'(a, b, h)
\]
Tọa độ trọng tâm \( G' \) được tính bằng trung bình cộng tọa độ các đỉnh:
\[
G' = \left( \frac{a + 0 + a}{3}, \frac{0 + b + b}{3}, \frac{0 + 0 + h}{3} \right) = \left( \frac{2a}{3}, \frac{2b}{3}, \frac{h}{3} \right)
\]

#### 4. Vector \( GG' \):
Tọa độ \( GG' \) là:
\[
GG' = G' - G = \left( \frac{2a}{3} - \frac{a}{3}, \frac{2b}{3} - \frac{b}{3}, \frac{h}{3} - h \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, -\frac{2h}{3} \right)
\]

#### 5. Độ dài \( GG' \):
\[
|GG'| = \sqrt{\left( \frac{a}{3} \right)^2 + \left( \frac{b}{3} \right)^2 + \left( -\frac{2h}{3} \right)^2}
= \frac{1}{3} \sqrt{a^2 + b^2 + 4h^2}
\]

#### 6. Độ dài \( A'C \):
Tọa độ \( A' \) là \( (0, 0, h) \), tọa độ \( C \) là \( (a, b, 0) \). Do đó:
\[
|A'C| = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}
\]

#### 7. Tỉ số \( k \):
\[
k = \frac{|GG'|}{|A'C|} = \frac{\frac{1}{3} \sqrt{a^2 + b^2 + 4h^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + h^2}}
= \frac{1}{3} \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + 4h^2}{a^2 + b^2 + h^2}}
\]

---

### **Kết quả:**
\[
k = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + 4h^2}{a^2 + b^2 + h^2}}
\]