Để giải bài toán này, ta sử dụng **nguyên lý Archimedes**. Nguyên lý này nói rằng: **Lực nâng** tác dụng lên một vật chìm trong chất lỏng (hoặc nổi trên mặt chất lỏng) bằng trọng lượng của chất lỏng mà vật đó chiếm chỗ.

### 1. Khi phao chìm hoàn toàn vào trong nước:

- **Thể tích phao**: \( V = 25 \, \text{dm}^3 = 25 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 = 0.025 \, \text{m}^3 \)
- **Khối lượng phao**: \( m = 5 \, \text{kg} \)
- **Mật độ nước**: \( \rho_{\text{nước}} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \) (ở nhiệt độ thường)

Lực nâng tác dụng lên phao khi phao chìm hoàn toàn vào nước được tính bằng trọng lượng của lượng nước bị chiếm chỗ, tức là:

\[
F_{\text{nâng}} = \rho_{\text{nước}} \cdot V \cdot g
\]

Trong đó:
- \( g \) là gia tốc trọng trường, \( g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2 \).

Vậy:

\[
F_{\text{nâng}} = 1000 \cdot 0.025 \cdot 9.81 = 245.25 \, \text{N}
\]

### 2. Khi phao chìm 2/3 trong nước:

Khi phao chìm 2/3 trong nước, thể tích nước bị chiếm chỗ sẽ là \( \frac{2}{3} \) của thể tích phao.

Lực nâng khi phao chìm 2/3 trong nước là:

\[
F_{\text{nâng}} = \rho_{\text{nước}} \cdot \left( \frac{2}{3} V \right) \cdot g
\]

Vậy:

\[
F_{\text{nâng}} = 1000 \cdot \frac{2}{3} \cdot 0.025 \cdot 9.81 = 163.5 \, \text{N}
\]

### 3. Khi phao để tự nhiên trong nước (nổi trên mặt nước):

Khi phao nổi trên mặt nước, lực nâng tác dụng lên phao bằng trọng lượng của phao. Lực nâng này giữ cho phao nổi.

Trọng lượng của phao là:

\[
P_{\text{phao}} = m \cdot g = 5 \cdot 9.81 = 49.05 \, \text{N}
\]

Vậy, khi phao nổi trên mặt nước, lực nâng tác dụng lên phao là \( 49.05 \, \text{N} \).

### Kết luận:

- Khi phao chìm hoàn toàn vào trong nước, lực nâng là \( 245.25 \, \text{N} \).
- Khi phao chìm 2/3 trong nước, lực nâng là \( 163.5 \, \text{N} \).
- Khi phao để tự nhiên trong nước (nổi), lực nâng là \( 49.05 \, \text{N} \).