a. Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác:

Để chứng minh rằng ba điểm A(1;3)A(1;3), B(2;4)B(2;4), và C(−3;2)C(-3;2) là ba đỉnh của một tam giác, ta sẽ kiểm tra xem ba điểm này có đồng phẳng hay không (có cùng nằm trên một đường thẳng). Nếu ba điểm không đồng phẳng, thì chúng tạo thành một tam giác.

Ta tính độ dốc của các đoạn thẳng AB và BC:

Đoạn thẳng ABAB: Độ dốc của đoạn thẳng ABAB là:

dAB=yB−yAxB−xA=4−32−1=1d_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - 3}{2 - 1} = 1
Đoạn thẳng BCBC: Độ dốc của đoạn thẳng BCBC là:

dBC=yC−yBxC−xB=2−4−3−2=−2−5=25d_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{2 - 4}{-3 - 2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}
Vì độ dốc của ABAB là 11 và độ dốc của BCBC là 25\frac{2}{5}, chúng khác nhau. Do đó, ba điểm không đồng phẳng và chúng tạo thành một tam giác.

b. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng ABAB được tính bằng công thức:

M=(xA+xB2,yA+yB2)M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)Với A(1;3)A(1;3) và B(2;4)B(2;4), ta có:

M=(1+22,3+42)=(32,72)M = \left( \frac{1 + 2}{2}, \frac{3 + 4}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{7}{2} \right)Vậy tọa độ trung điểm MM của đoạn thẳng ABAB là (32,72)\left( \frac{3}{2}, \frac{7}{2} \right).

c. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

Tọa độ trọng tâm của tam giác là trung điểm của ba đỉnh của tam giác, và được tính bằng trung bình cộng các tọa độ của ba đỉnh. Công thức tính tọa độ trọng tâm G(xG;yG)G(x_G; y_G) của tam giác với ba đỉnh A(xA;yA)A(x_A; y_A), B(xB;yB)B(x_B; y_B), và C(xC;yC)C(x_C; y_C) là:

xG=xA+xB+xC3,yG=yA+yB+yC3x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}Với A(1;3)A(1;3), B(2;4)B(2;4), và C(−3;2)C(-3;2), ta có:

xG=1+2+(−3)3=03=0,yG=3+4+23=93=3x_G = \frac{1 + 2 + (-3)}{3} = \frac{0}{3} = 0, \quad y_G = \frac{3 + 4 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3Vậy tọa độ trọng tâm GG của tam giác ABCABC là (0;3)(0; 3).

d. Tìm điểm D(x; y) để O(0;0) là trọng tâm của tam giác ABC:

Trọng tâm của tam giác là trung điểm của ba đỉnh, vì vậy nếu O(0;0)O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABCDABCD, thì tọa độ trọng tâm của tam giác với ba đỉnh A(1;3)A(1; 3), B(2;4)B(2; 4), và C(−3;2)C(-3; 2), cùng với điểm D(x;y)D(x; y) phải là (0;0)(0; 0).

Công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác là:

xG=xA+xB+xC+xD4,yG=yA+yB+yC+yD4x_G = \frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}, \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}Vì G(0;0)G(0; 0) là trọng tâm, ta có:

0=1+2+(−3)+x4,0=3+4+2+y40 = \frac{1 + 2 + (-3) + x}{4}, \quad 0 = \frac{3 + 4 + 2 + y}{4}Giải các phương trình này:

Từ phương trình đầu tiên:
0=1+2−3+x4  ⟹  0=0+x4  ⟹  x=00 = \frac{1 + 2 - 3 + x}{4} \implies 0 = \frac{0 + x}{4} \implies x = 0Từ phương trình thứ hai:
0=3+4+2+y4  ⟹  0=9+y4  ⟹  y=−90 = \frac{3 + 4 + 2 + y}{4} \implies 0 = \frac{9 + y}{4} \implies y = -9Vậy tọa độ điểm DD là (0;−9)(0; -9).