Để nghiên cứu hàm AAA, ta phân tích biểu thức A=∣x+3∣+14∣4x+8∣+∣x−2∣+∣x−7∣A = |x+3| + \frac{1}{4}|4x+8| + |x-2| + |x-7|A=∣x+3∣+41​∣4x+8∣+∣x−2∣+∣x−7∣.

1. Phân tích biểu thức:
Ta có: 14∣4x+8∣=∣x+2∣\frac{1}{4}|4x + 8| = |x+2|41​∣4x+8∣=∣x+2∣ Vì vậy, AAA trở thành: A=∣x+3∣+∣x+2∣+∣x−2∣+∣x−7∣A = |x+3| + |x+2| + |x-2| + |x-7|A=∣x+3∣+∣x+2∣+∣x−2∣+∣x−7∣
2. Xét các đoạn giá trị của xxx:
Hàm giá trị tuyệt đối thay đổi tại các điểm x=−3,−2,2,7x = -3, -2, 2, 7x=−3,−2,2,7. Do đó, cần xét trên các khoảng:

x<−3x < -3x<−3
−3≤x<−2-3 \leq x < -2−3≤x<−2
−2≤x<2-2 \leq x < 2−2≤x<2
2≤x<72 \leq x < 72≤x<7
x≥7x \geq 7x≥7

3. Tính toán cụ thể trên từng khoảng:
(1) Khi x<−3x < -3x<−3:
Tất cả các giá trị tuyệt đối lấy dấu âm: A=−(x+3)−(x+2)−(x−2)−(x−7)A = -(x+3) - (x+2) - (x-2) - (x-7)A=−(x+3)−(x+2)−(x−2)−(x−7) A=−4x−4A = -4x - 4A=−4x−4
(2) Khi −3≤x<−2-3 \leq x < -2−3≤x<−2:
∣x+3∣=x+3|x+3| = x+3∣x+3∣=x+3, các giá trị khác vẫn lấy dấu âm: A=(x+3)−(x+2)−(x−2)−(x−7)A = (x+3) - (x+2) - (x-2) - (x-7)A=(x+3)−(x+2)−(x−2)−(x−7) A=−2x+10A = -2x + 10A=−2x+10
(3) Khi −2≤x<2-2 \leq x < 2−2≤x<2:
∣x+3∣=x+3|x+3| = x+3∣x+3∣=x+3, ∣x+2∣=x+2|x+2| = x+2∣x+2∣=x+2, còn lại lấy dấu âm: A=(x+3)+(x+2)−(x−2)−(x−7)A = (x+3) + (x+2) - (x-2) - (x-7)A=(x+3)+(x+2)−(x−2)−(x−7) A=0x+14=14A = 0x + 14 = 14A=0x+14=14
(4) Khi 2≤x<72 \leq x < 72≤x<7:
∣x+3∣=x+3|x+3| = x+3∣x+3∣=x+3, ∣x+2∣=x+2|x+2| = x+2∣x+2∣=x+2, ∣x−2∣=x−2|x-2| = x-2∣x−2∣=x−2, còn ∣x−7∣|x-7|∣x−7∣ lấy dấu âm: A=(x+3)+(x+2)+(x−2)−(x−7)A = (x+3) + (x+2) + (x-2) - (x-7)A=(x+3)+(x+2)+(x−2)−(x−7) A=2x+10A = 2x + 10A=2x+10
(5) Khi x≥7x \geq 7x≥7:
Tất cả các giá trị tuyệt đối lấy dấu dương: A=(x+3)+(x+2)+(x−2)+(x−7)A = (x+3) + (x+2) + (x-2) + (x-7)A=(x+3)+(x+2)+(x−2)+(x−7) A=4x−4A = 4x - 4A=4x−4

4. Kết luận:
A={−4x−4neˆˊu x<−3,−2x+10neˆˊu −3≤x<−2,14neˆˊu −2≤x<2,2x+10neˆˊu 2≤x<7,4x−4neˆˊu x≥7.A = \begin{cases} -4x - 4 & \text{nếu } x < -3, \\ -2x + 10 & \text{nếu } -3 \leq x < -2, \\ 14 & \text{nếu } -2 \leq x < 2, \\ 2x + 10 & \text{nếu } 2 \leq x < 7, \\ 4x - 4 & \text{nếu } x \geq 7. \end{cases}A=⎩⎨⎧​−4x−4−2x+10142x+104x−4​neˆˊu x<−3,neˆˊu −3≤x<−2,neˆˊu −2≤x<2,neˆˊu 2≤x<7,neˆˊu x≥7.​Hàm AAA là hàm giá trị từng đoạn, mảnh ghép liên tục tại các điểm x=−3,−2,2,7x = -3, -2, 2, 7x=−3,−2,2,7.
 
4o