a) Chứng minh rằng $\mathbf{AM = KH}$:

- Trong tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$, $M$ là trung điểm của $BC$.
- Kẻ $MH \perp AB$ tại $H$ và $MK \perp AC$ tại $K$.
- Ta cần chứng minh $AM = KH$.

- Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A(0, 0)$, $B(c, 0)$, $C(0, b)$.
- Khi đó, $M$ là trung điểm của $BC$:

$M\left( \dfrac{c}{2}, \dfrac{b}{2} \right)$

- Tọa độ của $H$ và $K$:

- $H\left( \dfrac{c}{2}, 0 \right)$ vì $MH \perp AB$ và $AB$ nằm ngang.
- $K\left( 0, \dfrac{b}{2} \right)$ vì $MK \perp AC$ và $AC$ thẳng đứng.

- Tính độ dài $AM$ và $KH$:

$AM = \sqrt{\left( \dfrac{c}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{b}{2} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2}$

$KH = \sqrt{\left( \dfrac{c}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{b}{2} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2}$

- Kết luận:

$AM = KH$

---

b) Chứng minh rằng tứ giác $\mathbf{AMCD}$ là hình thoi:

- Trên tia $MK$ lấy điểm $D$ sao cho $KD = MK$.
- Ta có $\overrightarrow{KD} = \overrightarrow{MK}$, nên $D = K + \overrightarrow{MK} = 2K - M$.
- Tọa độ của $D$:

$D = 2K - M = 2\left( 0, \dfrac{b}{2} \right) - \left( \dfrac{c}{2}, \dfrac{b}{2} \right) = \left( -\dfrac{c}{2}, \dfrac{b}{2} \right)$

- Tính các cạnh của tứ giác $AMCD$:

- $AM = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2}$
- $MC = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2}$
- $CD = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2}$
- $DA = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2}$

- Kết luận: Tứ giác $AMCD$ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

c) Tìm điều kiện để tứ giác $\mathbf{ABCD}$ là hình thang cân:

- Tứ giác $ABCD$ là hình thang nếu $AD \parallel BC$.
- Tính hệ số góc của $AD$ và $BC$:

- $k_{AD} = \dfrac{\dfrac{b}{2} - 0}{-\dfrac{c}{2} - 0} = -\dfrac{b}{c}$
- $k_{BC} = \dfrac{b - 0}{0 - c} = -\dfrac{b}{c}$

- Vậy $AD \parallel BC$, tứ giác $ABCD$ là hình thang.
- Để hình thang cân, hai cạnh bên phải bằng nhau:

- $AB = c$
- $DC = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2}$

- Điều kiện:

$AB = DC \implies c = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2}$

- Giải phương trình:

$4c^2 = c^2 + b^2 \implies 3c^2 = b^2$

- Kết luận: Tam giác $ABC$ phải thỏa mãn $b^2 = 3c^2$.

---

d) Chứng minh rằng $\mathbf{HI = IQ}$:

- Tọa độ các điểm:

- $E\left( \dfrac{c}{2}, \dfrac{b}{4} \right)$ là trung điểm của $MH$.
- $F\left( \dfrac{c}{4}, \dfrac{b}{2} \right)$ là trung điểm của $MK$.

- Phương trình đường thẳng $HK$:

$y = -\dfrac{b}{c}\left( x - \dfrac{c}{2} \right)$

- Phương trình $AE$:

$y = \dfrac{b}{2c}x$

- Giao điểm $I$ của $HK$ và $AE$:

$I\left( \dfrac{c}{3}, \dfrac{b}{6} \right)$

- Phương trình $AF$:

$y = \dfrac{2b}{c}x$

- Giao điểm $Q$ của $HK$ và $AF$:

$Q\left( \dfrac{c}{6}, \dfrac{b}{3} \right)$

- Tính độ dài $HI$ và $IQ$:

$HI = IQ = \sqrt{\left( -\dfrac{c}{6} \right)^2 + \left( \dfrac{b}{6} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{6}$

=>

$HI = IQ$