a) Chứng minh rằng \( \mathbf{AM = KH} \):

- Trong tam giác vuông \( ABC \) vuông tại \( A \), \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Kẻ \( MH \perp AB \) tại \( H \) và \( MK \perp AC \) tại \( K \).
- Ta cần chứng minh \( AM = KH \).

- Chọn hệ trục tọa độ sao cho \( A(0, 0) \), \( B(c, 0) \), \( C(0, b) \).
- Khi đó, \( M \) là trung điểm của \( BC \):

\[ M\left( \dfrac{c}{2}, \dfrac{b}{2} \right) \]

- Tọa độ của \( H \) và \( K \):

- \( H\left( \dfrac{c}{2}, 0 \right) \) vì \( MH \perp AB \) và \( AB \) nằm ngang.
- \( K\left( 0, \dfrac{b}{2} \right) \) vì \( MK \perp AC \) và \( AC \) thẳng đứng.

- Tính độ dài \( AM \) và \( KH \):

\[ AM = \sqrt{\left( \dfrac{c}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{b}{2} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2} \]

\[ KH = \sqrt{\left( \dfrac{c}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{b}{2} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2} \]

- Kết luận:

\[ AM = KH \]

---

b) Chứng minh rằng tứ giác \( \mathbf{AMCD} \) là hình thoi:

- Trên tia \( MK \) lấy điểm \( D \) sao cho \( KD = MK \).
- Ta có \( \overrightarrow{KD} = \overrightarrow{MK} \), nên \( D = K + \overrightarrow{MK} = 2K - M \).
- Tọa độ của \( D \):

\[ D = 2K - M = 2\left( 0, \dfrac{b}{2} \right) - \left( \dfrac{c}{2}, \dfrac{b}{2} \right) = \left( -\dfrac{c}{2}, \dfrac{b}{2} \right) \]

- Tính các cạnh của tứ giác \( AMCD \):

- \( AM = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2} \)
- \( MC = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2} \)
- \( CD = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2} \)
- \( DA = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2} \)

- Kết luận: Tứ giác \( AMCD \) có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

c) Tìm điều kiện để tứ giác \( \mathbf{ABCD} \) là hình thang cân:

- Tứ giác \( ABCD \) là hình thang nếu \( AD \parallel BC \).
- Tính hệ số góc của \( AD \) và \( BC \):

- \( k_{AD} = \dfrac{\dfrac{b}{2} - 0}{-\dfrac{c}{2} - 0} = -\dfrac{b}{c} \)
- \( k_{BC} = \dfrac{b - 0}{0 - c} = -\dfrac{b}{c} \)

- Vậy \( AD \parallel BC \), tứ giác \( ABCD \) là hình thang.
- Để hình thang cân, hai cạnh bên phải bằng nhau:

- \( AB = c \)
- \( DC = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2} \)

- Điều kiện:

\[ AB = DC \implies c = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2} \]

- Giải phương trình:

\[ 4c^2 = c^2 + b^2 \implies 3c^2 = b^2 \]

- Kết luận: Tam giác \( ABC \) phải thỏa mãn \( b^2 = 3c^2 \).

---

d) Chứng minh rằng \( \mathbf{HI = IQ} \):

- Tọa độ các điểm:

- \( E\left( \dfrac{c}{2}, \dfrac{b}{4} \right) \) là trung điểm của \( MH \).
- \( F\left( \dfrac{c}{4}, \dfrac{b}{2} \right) \) là trung điểm của \( MK \).

- Phương trình đường thẳng \( HK \):

\[ y = -\dfrac{b}{c}\left( x - \dfrac{c}{2} \right) \]

- Phương trình \( AE \):

\[ y = \dfrac{b}{2c}x \]

- Giao điểm \( I \) của \( HK \) và \( AE \):

\[ I\left( \dfrac{c}{3}, \dfrac{b}{6} \right) \]

- Phương trình \( AF \):

\[ y = \dfrac{2b}{c}x \]

- Giao điểm \( Q \) của \( HK \) và \( AF \):

\[ Q\left( \dfrac{c}{6}, \dfrac{b}{3} \right) \]

- Tính độ dài \( HI \) và \( IQ \):

\[ HI = IQ = \sqrt{\left( -\dfrac{c}{6} \right)^2 + \left( \dfrac{b}{6} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{c^2 + b^2}}{6} \]

=>

\[ HI = IQ \]