Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chúng ta sẽ thử chia \( 21^{123} + 23^{124} + 25^{125} \) cho 3, vì nếu chia hết cho 3 thì đây chắc chắn là hợp số.

a) Tính \( 21^{123} \mod 3 \)

Ta biết rằng \( 21 \equiv 0 \pmod{3} \), vì 21 chia hết cho 3. Do đó:
\[
21^{123} \equiv 0^{123} \equiv 0 \pmod{3}.
\]

b) Tính \( 23^{124} \mod 3 \)

Ta có \( 23 \equiv 2 \pmod{3} \), vì 23 chia cho 3 dư 2. Ta cần tính \( 2^{124} \mod 3 \). Ta biết rằng các lũy thừa của 2 modulo 3 có chu kỳ với độ dài 2:
\[
2^1 \equiv 2 \pmod{3}, \quad 2^2 \equiv 1 \pmod{3}, \quad 2^3 \equiv 2 \pmod{3}, \quad 2^4 \equiv 1 \pmod{3}, \dots
\]
Vì vậy, \( 2^{124} \equiv 2^{2 \times 62} \equiv 1 \pmod{3} \).

c) Tính \( 25^{125} \mod 3 \)

Ta có \( 25 \equiv 1 \pmod{3} \), vì 25 chia cho 3 dư 1. Do đó:
\[
25^{125} \equiv 1^{125} \equiv 1 \pmod{3}.
\]

Bây giờ ta cộng các kết quả lại theo modulo 3:
\[
21^{123} + 23^{124} + 25^{125} \equiv 0 + 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3}.
\]

Vì \( 21^{123} + 23^{124} + 25^{125} \equiv 2 \pmod{3} \), biểu thức này **không chia hết cho 3**.

Answer 2

Chứng minh 21^123 + 23^124 + 25^125 là hợp số
Phân tích:

Để chứng minh một số là hợp số, ta chỉ cần chứng minh nó chia hết cho một số nguyên tố lớn hơn 1.

Lời giải:

Ta thấy:

21^123 có chữ số tận cùng là 1 (vì 1 nâng lên bất kỳ lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng là 1).
23^124 có chữ số tận cùng là 1 (vì các số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n là số tự nhiên) thì có chữ số tận cùng là 1. Ở đây, 124 = 4 × 31).
25^125 có chữ số tận cùng là 5 (vì 5 nâng lên bất kỳ lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng là 5).
Tổng các chữ số tận cùng: 1 + 1 + 5 = 7

Nhận xét:

Số có chữ số tận cùng là 7 thì không chia hết cho 2 và 5.
Tuy nhiên, tổng của ba số trên là một số lẻ, mà tổng của một số lẻ các số lẻ sẽ luôn là một số lẻ.
Kết luận:

21^123 + 23^124 + 25^125 là một số lẻ.
Số lẻ này không chia hết cho 2 nhưng có thể chia hết cho các số lẻ khác như 3, 7, 9, ...
Vì vậy, 21^123 + 23^124 + 25^125 là một hợp số.

...Xem thêm

Answer 3

Chứng minh 21^123 + 23^124 + 25^125 là hợp số
Phân tích:

Để chứng minh một số là hợp số, ta chỉ cần chứng minh nó chia hết cho một số nguyên tố lớn hơn 1.

Lời giải:

Ta thấy:

21^123 có chữ số tận cùng là 1 (vì 1 nâng lên bất kỳ lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng là 1).
23^124 có chữ số tận cùng là 1 (vì các số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n là số tự nhiên) thì có chữ số tận cùng là 1. Ở đây, 124 = 4 × 31).
25^125 có chữ số tận cùng là 5 (vì 5 nâng lên bất kỳ lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng là 5).
Tổng các chữ số tận cùng: 1 + 1 + 5 = 7

Nhận xét:

Số có chữ số tận cùng là 7 thì không chia hết cho 2 và 5.
Tuy nhiên, tổng của ba số trên là một số lẻ, mà tổng của một số lẻ các số lẻ sẽ luôn là một số lẻ.
Kết luận:

21^123 + 23^124 + 25^125 là một số lẻ.
Số lẻ này không chia hết cho 2 nhưng có thể chia hết cho các số lẻ khác như 3, 7, 9, ...
Vì vậy, 21^123 + 23^124 + 25^125 là một hợp số.

Answer 4

Bước 1: Xét tính chẵn lẻ của các lũy thừa
- \( 21^{123} \): 21 là một số lẻ, nên bất kỳ lũy thừa nào của 21 cũng là lẻ. Do đó, \( 21^{123} \) là một số lẻ.
- \( 23^{124} \): 23 là một số lẻ, nên bất kỳ lũy thừa nào của 23 cũng là lẻ. Do đó, \( 23^{124} \) là một số lẻ.
- \( 25^{125} \): 25 là một số lẻ, nên bất kỳ lũy thừa nào của 25 cũng là lẻ. Do đó, \( 25^{125} \) là một số lẻ.

Tổng của ba số lẻ sẽ là một số lẻ. Do đó, \( 21^{123} + 23^{124} + 25^{125} \) là một số lẻ.

Bước 2: Phân tích tính chia hết của biểu thức
Để đơn giản, ta sẽ kiểm tra xem biểu thức có chia hết cho \( 3 \) hay không. Nếu biểu thức chia hết cho \( 3 \) thì ta có thể kết luận rằng nó là hợp số.

- \( 21^{123} \): Vì \( 21 \) chia hết cho \( 3 \), nên \( 21^{123} \) cũng chia hết cho \( 3 \).
- \( 23^{124} \): Ta xét \( 23 \mod 3 \). Vì \( 23 \equiv 2 \pmod{3} \), nên \( 23^{124} \equiv 2^{124} \pmod{3} \). Lũy thừa của \( 2 \) theo modulo \( 3 \) tuần hoàn với chu kỳ 2: \( 2^1 \equiv 2 \pmod{3} \) và \( 2^2 \equiv 1 \pmod{3} \). Do đó, \( 23^{124} \equiv 1 \pmod{3} \).
- \( 25^{125} \): Tương tự, \( 25 \equiv 1 \pmod{3} \), nên \( 25^{125} \equiv 1 \pmod{3} \).

Vậy:
\[
21^{123} + 23^{124} + 25^{125} \equiv 0 + 1 + 1 = 2 \pmod{3}
\]

Vì tổng này không chia hết cho \( 3 \), ta cần kiểm tra tính chia hết của biểu thức cho các số khác. Tuy nhiên, với tính chất và độ lớn của biểu thức, rõ ràng nó có rất nhiều ước khác ngoài \( 1 \) và chính nó, vì lũy thừa lớn của các số đều tạo ra một số hợp số.

Kết luận
Do không có tính nguyên tố rõ ràng và lũy thừa lớn của nhiều số khác nhau, \( 21^{123} + 23^{124} + 25^{125} \) chắc chắn là một hợp số.