Tổng trong dấu ngoặc của mỗi hạng tử có dạng \( 1 + 2 + 3 + \dots + n \), đây là một tổng số học, có công thức tính tổng:

\[
S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}.
\]

Vậy, mỗi hạng tử trong chuỗi có dạng:

\[
\frac{1}{n} \times (1 + 2 + 3 + \dots + n) = \frac{1}{n} \times \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n(n + 1)}{2n} = \frac{n + 1}{2}.
\]

Do đó, biểu thức \( A \) có thể viết lại như sau:

\[
A = 1 + \frac{2 + 1}{2} + \frac{3 + 1}{2} + \frac{4 + 1}{2} + \dots + \frac{2013 + 1}{2}.
\]

Hay

\[
A = 1 + \frac{3}{2} + \frac{4}{2} + \frac{5}{2} + \dots + \frac{2014}{2}.
\]

Biểu thức trên có thể tách thành hai phần:

\[
A = 1 + \frac{1}{2} \times (3 + 4 + 5 + \dots + 2014).
\]

Ta thấy rằng tổng \( 3 + 4 + 5 + \dots + 2014 \) là tổng của một dãy số học với số hạng đầu là 3, số hạng cuối là 2014 và số hạng tổng cộng là \( 2014 - 3 + 1 = 2012 \) hạng.

Tổng của dãy số học này là:

\[
S = \frac{n}{2} \times (\text{số hạng đầu} + \text{số hạng cuối}) = \frac{2012}{2} \times (3 + 2014) = 1006 \times 2017 = 2,031,022.
\]

Do đó, \( A \) trở thành:

\[
A = 1 + \frac{1}{2} \times 2,031,022 = 1 + 1,015,511 = 1,015,512.
\]

Giá trị của biểu thức \( A \) là \( \boxed{1,015,512} \).

 Phân tích từng thành phần

Tổng \( 1 + 2 + 3 + \dots + n \) là tổng của dãy số tự nhiên từ 1 đến \( n \). Công thức tổng này là:
\[
1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}
\]

Do đó, biểu thức \( \frac{1}{n} \times (1 + 2 + 3 + \dots + n) \) có thể được viết lại như sau:
\[
\frac{1}{n} \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}
\]

Biểu thức của \( A \)

Thay vào biểu thức ban đầu:
\[
A = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{4}{2} + \dots + \frac{2014}{2}
\]

Ta có thể đưa tất cả các số hạng về dạng phân số có mẫu là 2:
\[
A = \frac{2 + 3 + 4 + \dots + 2014}{2}
\]

 Tính tổng của dãy từ 2 đến 2014

Dãy số \( 2, 3, 4, \dots, 2014 \) có:
- Số hạng đầu là 2
- Số hạng cuối là 2014
- Số lượng số hạng là \( 2014 - 2 + 1 = 2013 \)

Tổng của dãy này là:
\[
2 + 3 + 4 + \dots + 2014 = \frac{2013 \times (2 + 2014)}{2} = \frac{2013 \times 2016}{2} = 2013 \times 1008
\]

Tính \( A \)

\[
A = \frac{2013 \times 1008}{2} = 1008 \times 1008 = 1016064
\]