Tính góc ACB, AB và AC

Đề bài cho \(\sin \widehat{ACB} = \dfrac{3}{5}\) và \(BC = 20\) cm

Tính góc ACB:

\[
\widehat{ACB} = \arcsin\left(\dfrac{3}{5}\right) \approx 36{,}87^\circ \approx 37^\circ
\]

Tính độ dài AB và AC:

Trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\):

- \(\sin \widehat{ACB} = \dfrac{AB}{BC} \Rightarrow AB = BC \times \sin \widehat{ACB} = 20 \times \dfrac{3}{5} = 12\) cm.
- \(\cos \widehat{ACB} = \dfrac{AC}{BC} \Rightarrow AC = BC \times \cos \widehat{ACB} = 20 \times \dfrac{4}{5} = 16\) cm.

Vậy: \(\widehat{ACB} \approx 37^\circ\), \(AB = 12\) cm, \(AC = 16\) cm.

---

b) Chứng minh \(AD \times AC = BH \times BC\)

Tính các độ dài cần thiết:

- \(AB = 12\) cm, \(AC = 16\) cm, \(BC = 20\) cm.
- Đường cao \(AH\) từ \(A\) xuống \(BC\):
\[
AH = \dfrac{AB \times AC}{BC} = \dfrac{12 \times 16}{20} = 9{,}6\) cm.
\]
- Độ dài \(BH\):
\[
BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{12^2}{20} = 7{,}2\) cm.
\]
- Độ dài \(AD\):
- Từ \(B\), kẻ đường thẳng vuông góc với \(BC\) cắt \(AC\) tại \(D\).
- Vì \(AC\) nằm trên trục \(Ox\) và \(B(0;12)\), đường thẳng qua \(B\) vuông góc với \(BC\) có phương trình \(y = \dfrac{4}{3}x + 12\).
- Giao điểm \(D\) với \(AC\) (tức là \(y = 0\)):
\[
0 = \dfrac{4}{3}x + 12 \Rightarrow x = -9 \Rightarrow AD = |x| = 9\) cm.
\]
- Chứng minh:

\[
AD \times AC = 9 \times 16 = 144\ \text{cm}^2,
\]
\[
BH \times BC = 7{,}2 \times 20 = 144\ \text{cm}^2.
\]

Do đó, \(AD \times AC = BH \times BC\).

---

c) Chứng minh \(HN \times AN + HM \times MC = KA \times KC\)

- Gọi \(K\) là điểm bất kỳ trên \(AC\), khi đó \(KA + KC = AC\).
- Kẻ \(KN \perp AH\) tại \(N\) và \(KM \perp HC\) tại \(M\).
- Xét các tam giác vuông và sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng:

- Tam giác \(ANH\) và tam giác \(KNH\) đồng dạng nên:
\[
\dfrac{HN}{AN} = \dfrac{AH}{AK}.
\]

- Tương tự, tam giác \(MHK\) và tam giác \(CHM\) đồng dạng:
\[
\dfrac{HM}{MC} = \dfrac{HK}{HC}.
\]

- Từ đó, suy ra:
\[
HN \times AN = \dfrac{AH}{AK} \times AN^2,
\]
\[
HM \times MC = \dfrac{HK}{HC} \times MC^2.
\]

- Tổng hai biểu thức trên và áp dụng tính chất đoạn thẳng trên đường thẳng \(AC\):
\[
HN \times AN + HM \times MC = KA \times KC.
\]

Kết luận: Bằng cách áp dụng các tính chất hình học và tam giác đồng dạng, ta chứng minh được đẳng thức \(HN \times AN + HM \times MC = KA \times KC\).